1-§. 8- klassqa arnalǵan olimpiada máseleleri

4-mısal. Eger haqıyqıy sanlar ushın bolsa, onda
teńsizlikti dálilleń.
Sheshiliwi: Shártke kóre bolǵanı ushın, boladı. Onda orta arifmetikalıq hám orta geometriyalıq mánisleri arasındaǵı qatnaslardan paydalanıp (Koshi teńsizligi), tómendegige iye bolamız:
. ▲
5-mısal. teńlemeni pútin sanlarda sheshiń.
Sheshiliwi: Teńlemeniń shep tárepin kvadratqa kóteremiz hám qawsırmalardı ashamız:
. Bul teńlikten -lardı teńliktiń oń tárepine ótkeremiz: . Teńliktiń shep tárepinen hám oń tárepinen - ti shıǵaramız:
.
Berilgen teńlemeden teńlikke kelemiz. Másele shártine kóre hám pútin san, demek, -da pútin san boladı. Bulardan -niń da pútin san bolıwı kelip shıǵadı. Sonıń ushın belgilew kiritemiz. Demek, hám . Bunı payda qılǵan teńlikke qoyıp, tómendegilerdi tabamız:


Bul ańlatpanıń pútin mánisleri berilgen máseleniń juwabı boladı. sanı -ǵa eseli bolǵanı ushın -niń mánislerin tekseriw jeterli. Tómendegishe
almastırıwlardan soń, kórinip tur bul ańlatpa tek bolǵanda ǵana pútin san boladı. Demek, juwap:
6-mısal. kvadrat teńleme hár túrli hám túbirlerge iye. Eger sanlar qandayda bir geometriyalıq progressiyanıń izbe-iz tórt aǵzası bolsa, onda hám -lerdi tabıń.
Sheshiliwi: Berilgen teńlemeni Viet teoremasına kóre túbirlerin tabamız:
hám geometriyalıq progressiyada hám ekenligin bilemiz. Bunnan ekenligi kelip shıǵadı. Onda hám teńlik payda boladı. ornına aparıp qoyamız hám teńlemeni sheshemiz: hám . Demek, hám
Juwabı: hám .
7-mısal. Eki hám natural sanlar ushın qatnas orınlı. Eger ańlatpa 8 ge bólinse, onda bul ańlatpa 16 ǵa bóliniwin dálilleń.