1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri. Shártsiz hám shártli ekstremum

Teorema 3. (Qatań ekstremumniń jeterli shárti).
Meyli, funkciya noqattiń bazı bir dógereginde ekinshi tártipli úzliksiz tuwındıǵa iye hám noqat funkciyanıń stacionar noqatı bolsın. Eger kvadratlıq forma
, (1)
yaǵnıy kvadratlıq formada funktciyanıń noqattaǵı ekinshi tártipli differencialı oń anıqlanǵan (terıs anıqlanǵan ) bolsa, onda noqat qatań minimum (sáykes túrde qatań makimum) boladı. Eger (1) kvadratlıq forma anıqlanbaǵan bolsa, onda noqatta ekstremum bolmaydı.
. Kvadratlıq forma oń aniqlanǵanlıǵınıń Silvestr kriteriası.
Tómendegi
(2)
kvadratlıq formanıń , , oń anıqlanǵan bolıwı ushın

orınlı bolıwı zárúr hám jetkilikli.
(2) kvadratlıq forma teris anıqlanǵan bolıwı ushın

orınlı bolıwı zárúr hám jetkilikli.
n=2 bolǵan jaǵdaydı qarayıq. funktcya noqattıń bazı bir dógereginde anıqlanǵan hám ekinshi tártipli úzliksiz dara tuwındıǵa iye hámde stacionar noqat bolsın, yaǵnıy
.
Onda, eger da

bolsa, onda noqat funktcyaniń ekstremum noqatı boladı. Sonıńday, eger , bolsa, maksimum hám eger , bolsa minimum boladı. Eger noqatta bolsa, onda noqatta ekstremum joq. Demek, qashan noqatta bolsa, onda noqatta ekstremum bolıwı da, bolmawı da múmkin. Bul aqırǵı jaǵday bólek tekseriwdi talap etedi.
Mısal 3. funkciyalardı qaraymız. (0,0) noqat hár bir funkciya stacionar noqat boladı hám bul noqatta hár bir funkciya ushın boladı. (0,0) noqattı 1-funkciya ushın minimum, ekinshi funkciya ushın makimum hám úshinshi funkciya ushın ekstremum noqat bolmaytuǵının kóriw qıyın emes. Har úsh jaǵdaydada boladı, biraq birinshi jaǵdaya (0,0) noqattıń funkciya dógereginde ((0,0) noqattın ózinen tısqarı ) funkciyanıń mánisi oń, ekinshisinde teris hám úshinshi jaǵdayda funkciya koordinata basınıń qálegen jaqınında oń (máselen, de), teris (máselen, de) mánislerdi qabıl etedi.