1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri. Shártsiz hám shártli ekstremum

2. Shártli ekstremum
keńislik qandayda bir D oblastta anıqlanǵan n ózgeriwshili funkciya berilgen bolsın. lerge jáne m sandaǵı baylanıstırıwshı teńlemeler dep atalıwshı
(1)
qosımsha shárt qoyılǵan bolsın (mMeyli, -D oblasttıń ishki noqatı bolsın. funkcya noqatta shártli makimumǵa (sáykes túrde shártli minimumǵa) iye delinedi, eger noqattıń qálegen dógereginde hám noqatlar (1) baslanǵısh teńlemesin qanaatlandırǵan jaǵdayda
(2)
(mas tárizde ) teńsizlik orınlansa.
Mısal 1. funkcya (0,0) noqatta 0 ge teń bolǵan shártsiz minimum ǵa iye. Baslanǵısh teńlemeni qosamız yaǵnıy sırttıń tek shártin qanaatlandırıwshı (x,y) mánislerindegi minimum dı izleymiz. (0,0) noqatta shártli minimum ǵa iye bola almaydı, sebebi bul baslanǵısh teńlemeni qanaatlandırmaydı. Baslanǵısh teńlemeni y ke qarata sheship, sırttıń teńlemesine qoyamız hám bir ózgeriwshili funkcyaǵa iye bolamız. Onı ekstremumǵa tekserip, lardı tabamız. Baslanǵısh teńlemesine tiykarlanıp di tabamız. Bul noqat parabolanıń tegislik penen kesilisiwinen payda bolǵan parabolanıń ushı boladı. Usıǵan uqsas ulıwma jaǵdayda da usını payda etiw múmkin.
Meyli, funkicyanıń boǵlanish shárti járdeminde ekstremumı izlenip atırǵan bolsın. Aytaylıq teńleme izlenip atırǵan x hám y mánislerinde y tı tı bir mánisli differensiallanıwshı funkciya sıpatında anıqlansın. ta y tıń ornına funkciyanı qoyıp, bir x ózgeriwshili funkciyanı payda etemiz. F(x) funkciyanıń shártsiz ekstremumı baylanıs teńlemesine kóre funkciyanıń izlenip atırǵan sháritli ekstremumı esaplanadı. Bul usıl ámelde hár dayım hám qolaylı esaplanadı, sebebi bul teńlemeniń anıq bir ózgeriwshige qarata sheshimdi talap etedi.
funkciyanıń (1) baylanısqa kóre ekstremal mánislerin tabıw ushın Lagranjdıń anıq emes kóbeytiwshiler usılı qollanıladı.
Lagranjdıń kóbeytiwshiler usılı. Meyli:
1) hám funkciyalar D oblastta birinshi tártipli úzliksiz dara tuwındılarǵa iye;
2) m Jańa funkciya (Lagranj funkciyası ) dúzemiz
(3)
bul jerde - belgisiz turaqlı kóbeytiwshiler (Lagranj kóbeytiwshileri).
Endi funkciya shártsiz ekstremumǵa tekseriledi, yaǵnıy
(4)
teńlemeler sisteması dúziledi, sońınan (4) ten hám m ta baylanıs teńlemesinen parametrleriniń mánisleri hám ekstremum bolıwı múmkin bolǵan noqatlardıń koordinataları anıqlanadı.
(4) shárt Lagranj funkciyanıń hám dáslepki funkciya ekstremumınıń zárúriy shárti esaplanadı.
Eger noqat funkciya ushın shártli ekstremum noqatı bolsa, onda bul Lagranj funkciyası ushın stacionar noqat esaplanadı, yaǵniy bul noqatta boladı. Lagranj funkciyasın shártli ekstremumǵa stacionar noqatta tekseriw ushın tómendegi kórinistegi kvadratlıq formanı dúziw kerek boladı
(5)
yaǵniy Lagranj funkciyasınıń usı noqattaǵı

shártlerdi esapqa alǵan haldaǵı ekinshi tártipli differencialı.
Eger (5) kvadratlıq forma anıqlanbaǵan bolsa, onda noqat shártli ekstremum noqatı bolmaydı. (3) Lagranj funkciyası ushın shártsiz ekstremum bar bolmawın funkciya ushın hám shártli ekstremum bar bolmawın ańlatpaydı.
Mısal 2. shártte funkciyanıń ekstremumı tabılsın.