1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri. Shártsiz hám shártli ekstremum

Sheshiliwi. Lagranj funkciyasın dúzemiz: . hám ekstremum múmkin bolǵan noqatlardıń koordinatasın anıqlaw ushın sáykes teńlemeler dizimin jazamız:

Birinshi teńlemeden ti tabamız. Ekinshisine qoyıp, x+y=0 ti tabamız. Solay etip,

di payda etemiz. Bunda x=y=0 hám lerdi alamız. Solay etip, Lagranj funkciyası tómendegi kórinisinde iye boladı. (0,0) noqatta funkciya shártsiz ekstremumǵa iye emes, biraq x=y shártte z=xy funkciya shártli ekstremumǵa iye. Haqıyqattan d, bul jaǵdayda iye bolamız, bunnan kelip shıǵadı (0,0) noqatta shártli minimum bar.
Mısal 3. funkciyanıń
(6)
Sheshiw: Lagranj funkciyasın jazamız.

hám parametrlerin anıqlaw ushın ekstremumın múmkin bolǵan noqatlarınıń koordinatasın anıqlaw ushın teńlemeler dizimin jazamız.



Bunı sheship, tómendegilerdi esaplaymız:

funkciyasınıń 2-differencialı tómendegine teń boladı.

Biziń jaǵdayımızda
(7)
(6) baylanıslı shártlerinen paydalanıp,

Bunda dx=dz, dy=0. Bulardı (7) ge qoyıp, di alamız. Stacionar noqatta yaǵnıy noqatta ge teń bolǵan maximumǵa iye bolamız.
Mısal 4. funkcyasınıń sharti menen ekstremumı tabılsın.
Sheshiliwi: Lagranj funkcyasın dúzemiz:

hám ekstremum múmkin bolǵan noqatlariniń koordinatasın anıqlaw ushın turi sistemasın jazamız:

Yamasa
(8)
(9)
(10)
(7) hám (8) den yamasa
(11)
iye bolamız. (10) dan ge iye bolamız. (11) den bunnan
(12)
(14) hám (16) teńlemelerin birgelikte sheship,

joqardaǵıǵa iye bolamız. funkciysınıń ekinshi tártipli tuwındısın tabamız.
,
noqatında

joqardaǵıǵa iye bolamız. Demek, noqatta shártli ekstremum bar. da boladı, sonıń menen birge noqatında shartili minimum ge teń boladı.