1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri. Shártsiz hám shártli ekstremum

Misol 4. úsh ózgeriwshili funkciyanıń ekstremumı tabılsın.
Sheshimi. funkciyanıń stacionar noqatın tabamız. Bunıń ushın tómendegi sistemanı dúzip alamız:

bul teńlemeler sisteması sheship, lerge iye bolamız. Endi noqatta kvadratik formanı dúzip alamız. Bunnan
lerge iye bolamız. noqatta ,


lerdi alamız. Silvestr kriteriyasınan paydalanıp juwmaq shıǵarsaq, bul kvadratik forma oń anıqlanǵan, demek, 2-teoremaga tiykarlanıp, noqatta bolǵani ushın noqatta funkciyanıń minimum noqatı boladı.
Mısal 5. funkciyanıń ekstremumı tabılsın.
Sheshimi. Stacionar noqatlardı tabamız:

Eki hám stacionar noqatlar payda boldı. Funkciyanıń ekinshi tártipli tuwındıların tapsaq,

boladı. noqatta , bunnan bolıp, bul noqattaǵı ekstremum máselesi ashıq qaladı. Bunı sheshiw ushın joqarı tártipli tuwındiǵa keltiriw kerek. noqatta Kórinip turǵanınday , ekenliginen de maksimumǵa erisedi hám
. Tez túsiw (gradientler) usılı. funkcyanıń minimumın tabıw máselesi qoyılǵan bolsın. Bázi bir noqattı alıp f(x) funkcyanıń usı noqattaǵı gradientin esaplaymız

bul jerde ler keńisliginiń ortonormal bazisleri. Eger bolsa, ol jaǵdayda bul jerde h>0 jeterlishe kishi san. Eger bolsa, onda bul jaǵdayda dep alamız, hám sońında, eger bolsa onda dep alamız. Anıq qaǵıyda tiykarinda monoton kemeyiwshi izbe izlikti payda etemiz. Eger hám funkciyanıń minimum noqatı bolsa, ol jaǵdayda boladı.
Mısal 6. funkciyanıń minimum noqatı tabılsın.
Sheshiliwi. noqattı alamız hám ge iye bolamız. Sonıń ushın bul jerde h>0. Sońınan, boladı. Eger bolsa, onda hám boladı. Bul jaǵdaydı dawam ettirip, tómendegige iye bolamız.
Bizge belgili, eger bolsa, onda da . Onda x=0 noqatta funkciyanıń minimum noqatı boladı. Eger bolsa, onda bolıp, limiti nólge teń bolǵan {0} stacionar izbe- izlikti payda etemiz.
Missal 7. funkcianıń minimum noqatı tabılsın.
Sheshiliwi. Máselen, (1,1) noqattı alayıq, yaǵnıy Bunnan Bul jerde bolǵanlıǵı ushın, iye bolamız.
Tómendegige iyemiz

Sonıń ushın

dep alamız. Bul processti dawam ettirip, tómendegi

iye bolamız. bolǵanı ushın, berilgen funkcyanıń minimum M(0,0) noqatına jıynaqlı izbe izlikke iye bolamız. Ayqın kórinip turǵanınday, de Demek, (0,0) noqat funkcyanıń minimum noqatı boladı.
Gradiyent túsiw usılı járdeminde funkcyanıń minimum noqatı tabılsın.