1- маъруза: Ўзгарувчиси ажраладиган тенгламалар. Бир жинсли тенгламалар

тенглик ўринли бўлса .

Энди ушбу маpлумотдан фойдаланиб, (3) тенгламани тахлил этамиз

( 4) тенгликда t= алмаштириш бажарамиз

f (1,
ёки
(5)
(5) формуладан фойдаланиб ( 3 ) ни қуйидагича ёзамиз .

Демак бир жинсли тенглама

. (6)

Бу тенгламадан кўринадики, координата бошида бирорта ҳам интеграл чизиқ ўтмайди.

Бир жинсли тенгламани ечиш учун

y=zx (7)
алмаштириш қиламиз, бунда z=z(x) янги номаpлум функция (7) ни (6) тенгламага қўямиз, буни учун dy=xdz+zdx ( )
кўринишда ёзиш мумкин. Дифференциални (ҳосилани ) топамиз.

соддалаштирсак ,

(z)

ёки

кўринишга келади,
Бу ўзгарувчилари ажраладиган тенгламадир, сўнги тенгламани интеграллаб
Ф(z,x,c)=0 функцияни оламиз. Сўнг (7) алмаштиришдан z ни топиб
Ф( ёки F(х,у,с)=0 умумий интегралга эга бўламиз.
Мисол: Тенгламани ечинг.

аввало бу тенглама бир жинсли эканлигини кўрсатамиз. (4) формулага кўра х=хt , y=yt деб оламиз

бундан келиб чиқадики,

бўлиб m=2 бўлади. У ҳолда берилган тенглама учун y=zx алмаштириш қилиш мумкин.

Бундан dy=zdx+xdz бўлиб, тенгламага қўйилса

а)
интеграллаб, топамиз:
ёки
ёки x(y-1)=yc.
б) бўлса, у ҳолда


бўлиб , z=0, z=1 ундан юқоридаги алмаштиришга кўра
ифодаларга эга бўламиз.
Демак умумий интеграл .
Бир жинсли тенгламаларга келтириладиган дифференциал тенгламалардан бири
(8)
кўринишдаги тенглама бўлиб, унда с₁ ва с₂ лардан камида биттаси нолдан фарқли бўлсин. Унда 2 ҳолни қараймиз
1-ҳол:
бўлсин
Бу ҳолда системани ечиб, х=х₀, у=у₀ ечимни топамиз ва
(9)
алмаштириш бажарамиз. (9) алмаштиришни (8) тенгламага қўйсак


,
кўринишга келади.
Бундан (6) кўринишдаги бир жинсли тенгламани оламиз, яpни
.
Бу тенгламани олдинги усулда ечиш мумкин.
2-ҳол. Агар

бўлса, у ҳолда
тенгликка эга бўламиз.
Бундан эса
бўлади. (8) тенгламага қўйсак
( 10 )
кўринишдаги тенгламага эга бўламиз.
(10) тенгламада z=a₂x+b₂y алмаштириш бажарамиз, у ҳолда ўзгарувчиларни ажраладиган

тенгламага ҳосил бўлади.