1. Аэродинамиканинг асосий фаразлари ва таърифлари

Маъруза № 2.5.
Суюқлик ва газларнинг динамикаси. Идеал суюқлик. Эйлер тенгламаси. Бернулли интеграли.


Режа:
1. Идеал суюқлик.
2. Эйлер тенгламаси.
3. Бернулли интеграли.

Суюқлик ва газларнинг динамикасининг вазифаси – бу, суюри сиртдан мос равишда уринма ва нормал кучлаишларнинг тақсимланишида кўринадиган, аввалом бор суюқ ёки газсимон муҳит ва унда ҳаракатланаётган қаттиқ жисм орасидаги куч таъсирини ўрганиш учун керак бўлган, оқимнинг кинематик ва динамик характеристикалари орасидаги боғликликни аниқлашдир.

Қаттиқ жисмдан оқиб ўтаётган суюқлик (газ) оқимининг кинематик ва динамик характеристикалари орасидаги боғликликни аниқлаш учун, суюқлик тури ва оқим турига қараб, у ёки бу кўринишга эга бўлган, суюқлик ҳаракати тенгламаси тузилади
Ўзининг табиатига кўра суюқлик ва газ қовушқоқ муҳит ҳисобланади ва жисмдан оқиб ўтганда жисм сиртида ишқаланиш кучини аниқлайдиган уринма кучланишлар ҳосил қилади.
Эйлер тенгламаси.
Қовушқоқлиги йўқ, демак уринма кучланиши йўқ идеал суюқлик ҳаракатини тарифлайдиган Эйлер тенгламаси аэродинамикада энг кўп тарқалган ва кўп қўлланилади. Бу ҳолатда, ҳажмни ω чегаралайдиган юзага S таъсир қилувчи юза босим кучини аниқлайдиган нормал кучланишлар инобатга олинади.

4.1-расм. Идел суюқлик ҳаракати тенгламасини келтириб чиқариш учун

Вектор кўринишида улар қуйидагича кўринади:

,
бу ерда – суюқлик ҳажмининг ω танланган нуқтасидаги бир бирлик массали суюқликга таъсир қилувчи масса кучи (4.1-расм);
ρ – суюқлик (газ) зичлиги;
– ҳажмни ω чегаралайдиган юзадан S оқиб ўтаётган суюқлик оқими тезлиги;
– босим кучи P градиенти.
Скаляр кўринишда Эйлер тенгламаси қуйидагича бўлади:



Бу тенгламада, тезлик ташкил этувчилари V_x, V_y, V_z, босим P ва зичлик ρ номаълумлардир.
Учта тенглама ва бешта номаълум мавжуд. Шунинг учун, Эйлер тенгламасига узилмаслик (ажралмаслик) тенгламаси, ҳолат ва ҳароратни T аниқлаш тенгламаси, энергиянинг кўчиш (перенос) тенгламаларини қўшиб тенгламалар тизимини тузиш керак. Суюқлик баратроп P=f(ρ) (T=const бўлганда – изотермик ҳолат C=RT; – адиабатик ҳолат, бу ерда , P₀, ρ₀ –айрим қайд қилинган оқим параметрлари) бўлган хусусий ҳолларда Эйлер, узилмаслик ва ҳолат тенгламаларни кўриш етарли бўлади.



Сиқилмайдиган суюқлик (ρ=const) учун эса қуйидаги кўринишда бўлади:





Эйлер тенгламалари чизиқли эмас. Улар фақат хусусий ҳоллар учун ечилган, бунинг натижасида аэрогидромеханикада катта рўл ўйновчи Бернулли интеграли олинган.
Бернулли интеграли
Газлар учун Эйлер тенгламаси суюқликдагига нисбатан бошқача кўринишга эга бўлади, чунки газ ҳажмидаги таъсир қилувчи масса кучлари шундай ҳажмли суюқликдаги таъсир қилувчи масса кучларидан анча кичик. Шунинг учун, аэродинамикада масса кучларига аҳамият берилмайди ( ) ва Эйлер тенгламаси вектор кўринишида қуйидагича бўлади:

ёки скаляр кўринишда



Ток чизиғи бўйлаб, суюқлик заррачаларининг ўрнатилган ҳаракати учун ушбу тенгламаларни ечишда, қуйидаги ифодани оламиз:
,
интеграллангандан кейин қуйидаги кўринишга келади
.
Бу тенглама Бернулли интеграли деб аталади. Сиқилмайдиган суюқлик (ρ=const) учун Бернулли интеграли қуйидагига тенг
,
бунда у босимлар ўлчами билан ифодаланади.
P – оқимчадаги статик босим.
– динамик босим (босим тезлиги).
Жисмдан газнинг оқиб ўтишини кўриб чиқамиз.

4.2-расм. Жисмдан ҳавонинг оқиб ўтиши.

Жисмдан оқиб ўтаётган оқимнинг марказий оқимчаси жисмнинг олд қисмида тармоқланади, лекин жисмнинг А нуқтасида шундай секинлашадики, бунда тезлик V_A=0 бўлади. Бу нуқта, оқим тормозланиши (V_A=0) оқибатида критик (4.2-расм, II-II кесим) деган номни олган.

Статик P_ ва динамик босимлар йиғиндиси тўлиқ босимни P₀ беради ва у қуйидагига тенг (Бернулли тенгламаси)
,
бу ерда P_, V_ – тинч (тўзғимаган) оқим (4.2-расм, I-I кесим) босими ва тезлиги.
Баратроплик ρ=f(P) шартига (адиабатик жараён ) жавоб берувчи, сиқилган газлар учун Бернулли интеграли қуйидаги кўринишга эга бўлади:

деб белгилаб, тенгламани қуйидаги кўринишда қайта ёзамиз:

Оғирлик зичлигини γ=ρg киритиб, сиқилувчан газлар учун Бернулли тенгламасини қуйидаги охирги кўринишда ёзамиз:

k – адиабата коэффициенти ,
бу ерда C_p – доимий босимдаги солиштирма иссиқлик сиғими коэффициенти; C_v – доимий ҳажмдаги v солиштирма иссиқлик сиғими коэффициенти;
– статик босим (напор) (пьезометрик);
– динамик босим (напор) (скоростной);
– иссиқлик босими (напор).


Саволлар:
1. Суюқлик ва газларнинг динамикаси қандай масалларни ечади?
2. Суюқликлар учун Эйлер тенгламасини ёзинг.
3. Газлар учун Эйлер тенгламасини ёзинг.
4. Қандай шароитларда Бернулли интегралини ҳосил қилиш мумкин?
5. Сиқиладиган ва сиқилмайдиган газлар учун Бернулли тенгламаси аъзоларининг (қисмларининг) физик маъносини тушунтиринг.