1-amaliy mashg’ulot ishi

Misol 2. to’plamda , funksiya metrika aniqlashini isbotlaymiz.

1) ligi ravshan. uchun bo’lsa,

munosabatlar o’rinli. Musbatlilik sharti bu funksiya uchun bajarilar ekan.

2) bo’lsin. U holda ixtiyoriy haqiqiy uchun bo’lgani sababli

,

ya’ni simmetrik sharti bajarilishini isbotladik.

3) Uchburchak tengsizligi matematik analiz kursidan ma’lum:

Minkovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.

Haqiqatan ham, uchun, deb olsak,

tengsizlikga ega bo’lamiz. Bu esa funksiya da metrika aniqlashini isbotlaydi.

Misol 3. to’plamda metrika bo’lsa, unda ham da metrika bo’lishini isbotlaymiz.

1) ekanligi ayon, bo’lsin. Unda va . Demak, .

2) Simmetriklik sharti bajarilishi tabiiy.

3) bo’lsin. Unda va tengsizlikdan

ya’ni uchburchak tengsizligini qanoatlantiradi. Natijada, - da metrika aniqlashini isbotiga ega bo’lamiz.

Misol 4. a) funksiya metrika shartlarini qanoatlantiradimi?

1) Osongina ko’rish mumkinki, bajarilmaydi. Haqiqatan ham, deb olsak,

.

Demak, funksiya da metrika aniqlamaydi.

Misol 5. va funksiyani da metrika aniqlamasligini isbotlaymiz.

1) ekanligi tabiiy. lar uchun bajarilsin. Unda

.

Bu munosabatlardan va ketma-ketliklarni hadlari faqat 2-hadidan boshlab mos holda tengligi kelib chiqadi. Lekin bo’lishi uchun ularning barcha hadlari teng bo’lishi zarur edi. Shu sababli dan ligi kelib chiqmaydi.

Misol 6. bilan segmentda aniqlangan uzluksiz funksiyalar to’plami belgilaymiz. Bu to’plamda funksiyalar uchun

formula bo’yicha metrikani aniqlaymiz. Bu holda uchun metrik fazo aksiomalarini tekshirish yengil, shuning uchun bu ishni o’quvchilarga havola etamiz.

Eslatma 1. Chiziqli fazoda skalyar ko’paytma kiritilgandan keyin metrik fazoni Yevklid fazosi deb ataymiz. Demak, ni Yevklid fazosi deganimizda, unda funksiya yordamida metrika kiritilib, unga tegishli nuqtalarning har bir juftiga mos qo’yilgan vektorlar fazosida skalyar ko’paytma kiritilgandir.