1. Bernulli qonuni nima Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi

Bernulli tenglamasi qanday keltirib chiqariladi?
Quyidagi koʻndalang kesim yuzi va balandligi oʻzgaradigan quvurda chapdan oʻngga harakatlanayotgan suyuqlik bilan bogʻliq holatni koʻrib chiqing. Yuqorida kuzatganimizdek, quvur kichraygan qismda suyuqlik tezlashadi va kinetik energiya \[K\] oladi, siqilgan qismlar yuqoriga qarab harakat qilsa ham, siqib boʻlmaydigan suyuqlik uchun hajmiy oqim oʻzgarmas qolishi kerak. Ammo endi siqishga intilish suyuqlikning yuqoriga qarab harakatlanishiga olib kelgani sababli suv potensial energiya \[U_g\] va kinetik energiya \[K\] oladi. Suyuqlik olgan energiyani suyuqlik ustida bajarilgan tashqi kuchlar ishiga tenglashtirib Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz. 
[Bernulli tenglamasi Bernulli qonunidan farq qiladimi?]

Aytaylik, biz koʻrib chiqayotgan sistema 1 va 2 suv hajmidan va shu hajmlar orasidagi suyuqlikdan iborat. Agar suyuqlik laminar, yopishqoq boʻlmagan va suyuqlik oqimiga taʼsir qiladigan hech qanday qarshi kuchlar mavjud emas deb olsak, tizimga \[\Delta ({K+U})_{sistema}\] dan tashqari qoʻshilgan ixtiyoriy energiya \[(W_{tashqi})\] atrofidagi bosim kuchlari suyuqlik ustida bajargan tashqi ishi tufayli yuzaga keladi. 

[Ogʻirlik kuchi ham ish bajarmaydimi?]
Biz buni matematik nuqtayi nazardan quyidagicha ifodalashimiz mumkin,

Dastlab biz suv ustida bajarilgan tashqi ish \[W_{tashqi}\] ni topishga harakat qilamiz. 1- va 2-nuqtalar orasidagi suv tashqi ish bajara olmaydi, chunki bu sistemamizning tarkibiy qismidir. Sistemada ustida tashqi ish bajara oladigan bosim chizmada koʻrsatilganidek \[P_1\] va \[P_2\] bosimdir. 1-nuqtadagi suvning chap tomonida joylashgan \[P_1\] bosim musbat ish bajaradi, chunki bosim kuchi suyuqlik harakati bilan bir xil yoʻnalgan. 2-nuqtadagi suvning oʻng tomonidagi \[P_2\] bosim manfiy ish bajaradi, chunki uning taʼsir kuchi suyuqlikning harakatiga qarama-qarshi.
Chapdan taʼsir qilayotgan bosim kuchi 1-nuqtadagi suvni \[d_1\] masofa boʻylab surdi deb olaylik. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlgani sababli quvurdagi barcha suv xuddi shu hajmga koʻchadi, shunda 2-nuqtadagi suv \[d_2\] masofaga siljiydi.
Bunda bajarilgan ishni \[W=Fd\] bilan topish mumkin. Bosim kuchi formulasi \[F=PA\] ni qoʻyib quyidagi formula \[W=PAd\] ni hosil qilishimiz mumkin. Shunda 1-nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan musbat ish \[W_1=P_1A_1d_1\] ga va ikkinchi nuqtadagi suv tomonidan bajarilgan ish \[W_2=-P_2A_2d_2\] ga teng boʻladi. 
[Bu yerda ishning ishorasini qanday topamiz?]
Ushbu formulalarni tenglamamiz ʻ\[W_{toʻla} = \Delta ({K+U})_{sistema}\] ning chap tomoniga keltirib qoʻysak,

Ammo \[A_1d_1\] va \[A_1d_1\] hadlar bir-biriga teng boʻlishi kerak, chunki ular 1- va 2-nuqta yaqinidagi siljigan suyuqlikning hajmini ifodalaydi. Agar suyuqlikni siqilmas deb olsak, barcha joyda teng hajmlar siljishi kerak, jumladan, yuqori qismda ham. Demak, \[V_1=A_1d_1=A_2d_2=V_2\] boʻlgani uchun biz bu hadni shunchaki \[V\] sifatida yozishimiz mumkin. Bu tenglamaning chap tarafini soddalashtirishda foydali,

Tenglamaning chap tarafi qisqartirildi. Endi tenglamaning oʻng tomonini soddalashtirishimiz kerak. Bu keltirib chiqarishning muhim va nozik qismidir. Yodda tuting, sistemamizga nafaqat 1 va 2-qismlardagi suv, balki shu ikki nuqta orasidagi suv ham kiradi. Katta yopiq sistema qismlarining kinetik va potensial energiyasidagi barcha oʻzgarishlarni qanday qilib hisoblaymiz?
Keltirib chiqarishni tugatish uchun yana bir taxminiy faraz qilishimiz kerak. Biz suyuqlik oqimi bir tekis deb olamiz. “Bir tekis” deganda suyuqlikning quvurdagi maʼlum bir nuqtadan oʻtayotgan tezligi oʻzgarmasligi nazarda tutiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar shaffof quvurning biron-bir qismiga tikilib qarasangiz, har lahzada koʻzingiz oldidan oʻtib ketayotgan yangi suvni koʻrasiz, lekin oqim bir tekis boʻlsa, u holda oldingizdan oʻtayotgan suvning mos nuqtalari bir xil tezlikda harakat qiladi. 
[Bu suyuqlikning tezligi hech qachon oʻzgarmasligini anglatmaydimi?]
Shunday qilib, bir tekis oqish tushunchasi suyuqlik sistemasidagi energiya oʻzgarishini aniqlashga qanday yordam beradi? Quyidagi rasmni koʻrib chiqing. Bizning sistemamiz kulrangga boʻyalgan suyuqlikdan iborat (1-hajm, 2-hajm va ular orasidagi suyuqlik). Birinchi rasmda sistema qandaydir ʻ\[(K+U)_{boshlangʻich}\] umumiy energiyaga ega. Ikkinchi rasmda sistema ustida ish bajariladi, natijada u energiya oladi, oʻng tomonga siljiydi va sistema har xil umumiy energiya \[(K+U)_{oxirgi}\] ga ega boʻladi. Ammo suyuqlik energiyasi uning ustida ish bajarilishidan oldin va keyin bir xil boʻladi. Chizilgan chiziqlar orasidagi sohada suvning joylashishi va tezligi oʻzgaradi, lekin u shunday oʻzgaradiki, oldingi suv bilan bir xil balandlikda va tezlikda (masalan, \[v_a\] va \[v_b\]) boʻlgandek tuyuladi. Bizning sistemamizda farq qiladigan narsa shuki, 2-qism endi quvurning oldingi suyuqlik boʻlmagan qismiga oʻtadi va hozir bizning sistemada hech narsa 1-qismning orqasidagi sohani egallamaydi.

Demak, bu tizim energiyasining umumiy oʻzgarishini shunchaki oxirgi nuqtalarning energiyasini hisobga olgan holda topish mumkinligini anglatadi. Xususan, ish bajarilgandan soʻng, 2-qismda mavjud boʻlgan kinetik va potensial energiyani \[(K_2+U_2)\] deb olishimiz mumkin va endi undan 1-qism ortida mavjud boʻlmagan \[(K_1+U_1) \] energiyani ayirishimiz mumkin. Boshqacha aytganda, 

[Baribir ham tushunmadim.]

Buni ish energiya formulasi  ning oʻng tarafiga keltirib qoʻyamiz.

Endi kinetik energiya \[K=\dfrac{1}{2}mv^2\] va potensial energiya \[U_p=mgh\] formulalarini keltirib qoʻyamiz,

Ushbu tenglamada \[P_1\] va \[P_2\] mos ravishda 1- va 2-hajmli suyuqlik bosimini ifodalaydi. \[v_1\] bilan \[v_2\] mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning tezligini hamda \[h_1\] bilan \[h_1\] mos ravishda 1- va 2-hajmdagi suyuqliklarning balandligini ifodalaydi.
Suyuqlikni siqilmaydigan deb olganimiz sababli 1- va 2-hajmdagi siljigan suyuqliklarning massasi \[m_1=m_2=m\] bir xil boʻlishi kerak. Bundan \[m\] ning indekslarini tashlab yuboramiz,

Ikkala tarafni V ga boʻlamiz va qavslarni ochib chiqamiz,

Biz siljigan suyuqlik massasining hajmiga nisbati uning zichligiga tengligi \[\rho=\dfrac{m}{V}\] dan ifodani soddalashtiramiz. \[\dfrac{m}{V}\] ni \[\rho\] bilan almashtirsak, quyidagi hosil boʻladi,

Endi oddiygina algebra yordamida bitta nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning bir tomoniga va ikkinchi nuqtaga tegishli hadlarni tenglikning ikkinchi tomoniga olib oʻtamiz,

Nihoyat. Bu Bernulli tenglamasi! U sizga laminar (qatlam-qatlam) oqimda bosim \[P\] kinetik energiya zichligi \[\dfrac{1}{2}\rho v^2\] va potensial energiya zichligi \[\rho gh\] ning yigʻindisi ixtiyoriy ikki nuqta uchun bir xil boʻlishini aytmoqda. 
[Energiya zichligi nima?]
Bernulli tenglamasini oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni sifatida koʻrish mumkin. Bernulli tenglamasi suyuqlik tizimi tomonidan olingan har qanday qoʻshimcha kinetik yoki potensial energiya boshqa suyuqlik tomonidan bajarilgan tashqi ish natijasi ekanini qoʻllashdan kelib chiqdi. Shuni yodda tutish kerakki, ushbu tenglama oʻrinli boʻlishi uchun koʻp shartlar bajarilishi kerak. Biz oqimni laminar va dissipativ kuchlardan xoli deb oldik, yoʻqsa, issiqlik energiyasi ajralgan boʻlardi. Hajmiy oqim oʻzgarmas va oqim tekis boʻlishi kerak, aks holda oʻrta qismning energiyasini qisqartirishimiz nooʻrin boʻlardi. Suyuqlik siqilmaydigan boʻlishi kerak, aks holda hajm va massalar teng boʻlmasligi ham mumkin.
\[P+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\] kattalik quvur boʻylab laminar oqayotgan suyuqlikning ixtiyoriy nuqtasi uchun bir xil boʻlgani sababli biz Bernulli qonunini quyidagicha yozishimiz mumkin,
\[P+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{const}\]
Bu tenglama har xil suyuqlik sistemalari uchun turlicha boʻladi, biroq dissipativ kuchlardan xoli va laminar oqayotgan suyuqliklarning ixtiyoriy nuqtasida \[P+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh\] oʻzgarmas.