1. Binar munosabat

SALOHIDDIN RAXMATOV TAYYORLADI MAXSUS DISKIRIT MATEMATIKA UCHUN

Munosabatlar

1. Binar munosabat. Diskret matematikada fundamental tushun chalardan biri bo'lgan munosabat tushunchasi predmetlar (narsalar) va tushunchalar orasidagi aloqani ifodalaydi. Quyidagi toiiqsiz gaplar munosabatlarga misol bo'la oladi. Odatda, munosabat tushunchasi to'plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan turib o'rganiladi. Munosabat tushunchasiga aniqlik kiritish uchun
tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz.
1- t a ’ r i f . M a’lum tartibda joylashgan ikki predmetdan tuzilga kortej tartiblangan juftlik deb ataladi. Odatda tartiblangan juftlik quyidagi xususiyatlarga ega deb faraz qilinadi:
1) ixtiyoriy x va у predmetlar uchun < x , y > kabi belgilanadigan muayyan obyekt mavjud bo'lib, har bir x va у predmetlarga yagona tartiblangan < x , y > juftlik mos keladi ( < x , y > yozuv “ x va у ning tartiblangan juftligi” deb o'qiladi);
2) agar ikkita < x , y > va < u, v > tartiblangan juftlik uchun x = и va
у = v bo'lsa, u holda < x , y >=< u , v > bo'ladi. < x , y > tartiblangan juftlik < x , y > - {{x},{x,y}} ko'rinishdagi to'plamdir, ya’ni u shunday ikki elementli to'plamki, uning bir elementi {x, y} tartibsiz juftlikdan iborat, boshqa {x} elementi esa, shu tartibsiz juftlikning qaysi hadi birinchi hisoblanishi kerakligini ko'rsatadi. Tartiblangan juftliklardan birgalikda tartiblangan juftliklar to‘plamini tashkil etishadi.
2 - t a ’ r i f . < x, v > tartiblangan juftlikdagi x uning birinchi koordinatasi, у esa ikkinchi koordinatasi deb ataladi. Tartiblangan juftliklar atamasi asosida tartiblangan n -liklarni aniqlash mumkin. x, v va z predmetlarning tartiblangan uchligi quyidagi tartiblangan juftliklar shaklida aniqianadi: « x , y >, z > . Xuddi shu kabi x,,x2,...,xn predmetlarning tartiblangan « -ligi < x ,,x 2,...,x„ > , ta’rifga asosan, « x, ,x 2,...,x„_, >,x„ > tarzda aniqianadi. Matematik mantiqda n –ar munosabat tartiblangan n -liklar to'plami sifatida aniqianadi. Ba’zan n -ar munosabat iborasi o'rniga n o'rinli munosabat iborasi qo'llaniladi. Agar munosabat bir o'rinli bo'lsa, u holda u unar munosabat, ikki o'rinli bo'lganda esa binar munosabat deb
ataladi. Unar munosabat xossa (xususiyat) deb ham yuritiladi. Adabiyotda, ko'pincha, 3-ar munosabat ternar munosabat deb nomlanadi.
1 - m i s o l . {< 2,4 >,< 5,6 >,< 7,6 >,< 8,8 >} tartiblangan juftliklar to'plami binar munosabatdir.
2- m i s o l . Agar p ayniyat munosabatini bildirsa, u holda < x , y > e p yozuv x = у ayniyatni bildiradi.
3- m i s o l . Agar p onalik munosabatini bildirsa, u holda e p yozuv Xurshida Irodaning onasi ekanligini bildiradi.


4- m i s o l . Ternar munosabatga butun sonlar to'plamida aniqlangan qo'shish amalini misol qilib keltirsa bo'ladi. Bundan keyin binar munosabat atamasi o'rnida, qisqalik uchun, munosabat atamasini ishlatamiz.
3- t a ’ r i f . Agar p biror munosabatni ifodalasa, и holda < X,у > e p va x p у ifodalar o ‘zaro almashuvchi ifodalar deb ataladi. x p у ifoda (yozuv) “infiks yozuvi” deb yuritiladi va “ x (predmet) у (predmet)ga nisbatan p munosabatda” deb o'qiladi. Odatdagi x = y , x < y , x у belgilashlar (yozuvlar) x p y ifodadan kelib chiqqan deb hisoblash mumkin.
{ x /x e A} yozuvni, to'plamlar nazariyasidagi kabi, “shunday xlar to'plamiki, x e A ” deb tushunamiz.
4- t a ’ r i f . { x I ayrim у uchun < x, у > £ p ) to'plam p munosabatning aniqlanish sohasi deb ataladi va D p kabi belgilanadi.
5- t a ’ r i f . { у / ayrim x uchun < x ,y > £ /?} to'plam p munosabatning qiymatlar sohasi deb ataladi va Rp kabi belgilanadi.
Boshqacha qilib aytganda, p munosabatning aniqlanish sohasi shu p munosabatning birinchi koordinatalaridan tashkil topgan to'plamdir, ikkinchi koordinatalaridan tuzilgan to'plam esa, uning qiymatlar sohasidir.
5- m i s o l . {< 2,4 >,< 3,3 >,< 6,7 >} ko'rinishdagi p munosabat
berilgan bo'lsin. U holda D p = {2,3,6}, Rp = {4,3,7}. Tartiblangan juftliklar to'plami tushunchasidan foydalanib, Dekart
ko'paytmasini (ushbu bobning 4- paragrafiga qarang) boshqacha ham aniqlash mumkin. Agar x biror X to'plamning elementi, у esa Y to'plamning elementi bo'lsa, u holda tartiblangan »> juftliklar С to'plami X va Y to'plamlarning Dekart ko'paytmasi deyiladi:
С = X x Y = {< x ,y > / x e X , y e Y}. Har bir p munosabat X X Y to'g'ri ko'paytmaning qism to'plami bo'ladi va X D p , Y 3 Rp .
6- t a ’ r i f . Agar p c z X x Y bo'lsa, и holda p shu X dan Y ga bo'lgan munosabat deb ataladi.
7- t a ’ r i f . Agar p с X x Y va Z ID X [ j Y bo ‘Isa, и holda p dan Z ga bo ‘Igan munosabat deb ataladi.
8- t a ’ r i f . Z dan Z ga bo'lgan munosabat Z iehidagi munosabat deb ataladi.
9- t a ’ r i f . X to'plam iehidagi X x X munosabat X iehidagi universal munosabat deb ataladi.
10- t a ’ r i f . {< x, x > / x e X } munosabat X iehidagi ayniyat munosabati deb ataladi va ix yoki i simvoli bilan belgilanadi. Ixtiyoriy X to'plamning x va у elementlari uchun xixy ifoda x = у bilan teng kuchlidir. {< x ,у > e R x R / у < x} shaklda ifodalash mumkin.

2. Ekvivalentlik munosabati. Munosabatlar turli xossalarga egabo'lishi mumkin. Matematikada quyidagi 12- ta’rifda ko‘rsatilgan uchta xossaga ega boigan munosabatlar ko‘p uchragani uchun ularga maxsusnom berilgan.
12-t a ’ r i f . X to'plamning ixtiyoriy x elementi uchun: agar x p x bo ‘Isa, и holda p munosabat X to ‘plamdagi refleksiv
munosabat; agar x p у dan у p x kelib chiqsa, и holda p munosabat simmetrik munosabat; agar x p у va у p z dan x p z kelib chiqsa, и holda p munosabat tranzitiv munosabat deb ataladi.
13- t a ’ r i f . Agar biror to'plamdagi munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitivlik xossalariga ega bo'lsa, и holda bunday munosabat shu to ‘plamdagi ekvivalentlik munosabati deb ataladi. Agar p munosabat X to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsa, u holda Dp = X bo'lishi ravshandir. o'xshashlik munosabati.
3. Butun sonlar to'plamidagi n modul bo'yicha taqqoslash munosabati.
4. O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamidagi “bir uyda yashovchilar” munosabati. Ekvivalentlik munosabati ushbu asosiy xususiyatga ega: u to'plamni kesishmaydigan qism to'plamlarga bo'ladi. Masalan, 7- misolning 4- bandidagi “bir uyda yashovchilar” munosabati O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamini bir-biri bilan kesishmaydigan “bir uyda
yashovchilar” va “qolganlar” qism to'plamlariga bo'ladi. Bu aytilganlami quyidagicha umumlashtirish mumkin.
14- t a ’ r i f . p biror X to'plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsin. Agar X to'plamning A qism to'plamida shunday x element topilib, A = {y / x p y } bo ‘Isa, и holda A qism to 'plam ekvivalentlik
sinfi yoki ekvivalentlik p -sin/i deb ataladi. Keltirilgan ta’rifga asosan X to'plamning A qism to'plami ekvivalentlik sinfi bo'lishi uchun X to'plamning Л = ;р [{.*}] tenglikni qanoatlantiruvchi x elementi mavjud bo'lishi yetarli va zarurdir. Agar p
munosabat to'g'risida hech qanday shubha fag'ifmaydigan bo'lsa, u holda X to'plamdagi x elementlarning p -obrazlari to'plami [x] slhaklrda belgilanadi (ya’ni p[{x}] = [x]) va bu to'plam x yuzaga keltirgan 1‘kvivak‘ntlik sinfi deb ataladi. Ekvivalentlik sinfi quyidagi ikki xususiyatga ega:
1) X e [x] - bir sinfning hamma elementlari o'zaro ekvivalentdir;
2) agar x p у bo'lsa, u holda [x] = [ j'] .

1) xossa ekvivalentlik munosabatining refleksivlik xususiyatidan kelib chiqadi.

2) xossani isbotlaymiz. x p у bo'lsin, ya’ni x element у elementga ekvivalent bo'lsin, u holda [у] с [x ]. Haqiqatan ham, z 6 [j^] (ya’ni, y p z ) munosabatdan va x p z bo'lganligi uchun, p munosabatning

tranzitiv xususiyatiga asosan, x p z kelib chiqadi, ya’ni z e [ x \ . Ekvivalentlik munosabatining simmetriklik xossasidan foydalanib, [x] с [у] bo'lishini isbot qilish mumkin. Demak, [x] [ y ]

3. Funksiya tushunchasi. Funksiyalar superpozitsiyasi. Funksiya tushunchasini yuqorida o'rganilgan atamalar orqali aniqlaymiz.Funksiya shunday munosabatki, uning turli elementlarining (juftliklarining) birinchi koordinatalari hech qachon o'zaro teng bo'lmaydi. Funksiyaning grafigi tartiblangan juftliklar to'plamidan iborat. Funksiya bilan uning grafigi orasida hech qanday farq yo'q. Shunday qilib, f munosabat quyidagi talablami qanoatlantirgandagina funksiya bo'la oladi:
1) ning elementlari faqat tartiblangan juftliklardan iborat;
2) agar < x , y > va < x , z > elementlar /n in g elementlari bo'lsa, u holda y - z bo'ladi.
8 - m i s o l . {< 1,2 >,< 2,2 >,< 3,4 >} shaklda berilgan 5 munosabat funksiyadir va D s = {1,2,3},

Rs = {2,4}.
9- m i s o l . {< 3,4 >,< 3,5 >, < 4,6 >} munosabat funksiya bo'la olmaydi, chunki < 3 ,4 > va < 3 ,5 > elementlarining birinchi koordinatalari o'zaro teng.
10- m i s o l . {< x, x' + x + l > / x e Rj funksiyadir, chunki agar x = и bo'lsa, u holda x 2 + x +1 = + w + 1
1 1 -m i s o l . { < x 2, x > / x e R } munosabat funksiya bo'la olmaydi, chunki uning birinchi koordinatalari o'zaro teng bo'lgan elementlari (masalan, < 1,1 > va < 1,-1 > ) mavjud.
1 5 - t a ’ r i f .A gar f funksiya va < x , y > e . f {ya’ni x f y ) bo'lsa, и holda x berilgan f funksiyaning argumenti, у esa shu funksiyaning x argumentdagi qiymati yoki x elementining obrazi deb ataladi. x argumentning / funksiyasini belgi lash uchun x f , / ( x ) , f x yoki x f yozuvlardan foydalaniladi. / ( x ) yozuvni / ( x ) = /[{ x } ] deb,ya’ni x elementning f -obrazlari to'plami deb qarash mumkin.
@Saloh7.