1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha. Sistema-ning yechimi

3. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimlari mavjudlik shartlari.
Agar (1) sistema tenglamalari barcha ozod hadlari nolga teng bo`lsa, chiziqli tenglamalar sistemasi bir jinsli sistema deyiladi. Agarda tenglamalar ozod hadlaridan hech bo`lmaganda bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema bir jinsli bo`lmagan sistema deb ataladi.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi doimo birgalikda, chunki rang(A) = rang(A | O) tenglik har doim o`rinli. Bundan tashqari, bir jins-li sistema har doim m ta nollar tizimi - nolli yoki trivial (0; 0; …; 0) yechimga egaligi bilan xarakterlanadi.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi uchun uning nolmas ye-chimlarga egalik shartini bilish muhimdir. Javob Kroneker–Kapelli teoremasidan kelib chiqadi.
Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nol yechimdan tashqari nolmas yechimlarga ham ega bo`lishi uchun sistema asosiy matritsasi rangining noma`lumlar sonidan kichik bo`lishi zarur va yetarli.
Teoremadan quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin.
1-xulosa. Agar bir jinsli sistemaning noma`lumlari soni uning tenglamalari sonidan katta bo`lsa, sistema nol yechimdan tashqari nolmas yechimlarga ham ega.
2-xulosa. n ta noma`lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nol yechimdan tashqari nolmas yechimlarga ham ega bo`lishi uchun sistema asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo`lishi zarur va yetarli.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo`lsin. Matritsalarni ko`paytirish amali va matritsalar tengligi ta`rifidan foydalanib, sistemani

AX = B
matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a<sub>iκ</sub>) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma`lumlar ustun matritsasi.

Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo`lib, A<sup>-1</sup> uning tes-kari matritsasi bo`lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A^-1 matritsaga ko`paytiramiz va

A^-1A = E, EX =X

tengliklarni e`tiborga olsak,

X = A^-1B (1)

tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A^-1 quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko`paytiriladi.

Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini teskari matritsa usulida yeching:
1) 2) 3)
1)

Sistema yechimi: ( 9; -5 ).

2) qism matritsa rangi sistema rangiga teng bo`lgani uchun sistema dastlabki ko`rinishini unga teng kuchli quyidagi shakli bilan almashtiramiz:

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini qo`llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim ko`rinishlaridan biri shaklda yozilishi mumkin. Bu yerda, x₂єR.

3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini Jordan usulida aniqlaymiz:

 …
Sistema yagona yechimini teskari matritsa usuli formulasini qo`l-lab, quramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).

Har bir usul kabi teskari matritsa usuli o`zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega. Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari ustuniga ko`paytiriladi va natija olinaveradi. Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish jarayoni bilan bog`liq bo`lib, ayniqsa, detA nolga yaqin bo`lganda ko`p xonali sonlar ustida hisob-kitoblarni talab etadi.