1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

35 Признак Д'Аламбера
Теорема: Пусть an>0 для любого n, если lim(a_n+1/a_n)=L, то - сходится, если L<1, расходится если L>1. 0<(a­_n+1/a_n)<1, lim(a_n+1/a_n)=L<1; L<θ<1 т.к. сходимость или расходимость ряда не нарушается в результате изменения или удаления конечного числа его членов будем считать: 0<(a­_n+1/a_n)<1 для любого n; тогда 02/a₁<θ; a₂<θ; 0< a₂/a₁<θ …… θ – сходится (геометрическая прогрессия с q=0) => по теореме сравнения сходится ряд . Lim(a_n+1/a_n)=L>1, a_n+1/a_n>1 почти для всех n => начиная с некоторого номера члены ряда возрастают т.е. не выполняется условие liman=0 т.е. ряд расх.

36 Радикальный признак Коши
Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел:  , то:
а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при  .
б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при  .
в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.
Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,зависящей от «эн». Либо когда корень  «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
37 Интегральный признак сходимости
рассм числовой ряд U1+U2+..+Un и пусть ф-ция f(x) такая, что f(1)=U1, f(2)=U2,f(n)=Un. Ряд (1) и интеграл(от1 до ∞) ∫ f(x)dx сходятся одновременно или расходятся одновременно.Доказательство. f(n)=Un построим ступенчатую ф-цию вписанную в кривую f(x) площадь фигуры U2+U3+…+Un+1<(ot1 do n+1) ∫f(x)dx перейдём к пределу пределу при n→ ∞, тогда пусть (от1 до ∞) ∫ f(x)dx - сходится = С
тогда частичная сумма ряда ограниченна, а раз так то ряд сходится:
пример. 1+1/2^2+1/3^2+1/n^2 (от1 до ∞) ∫dx/x^2=1