1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

43 Свойства равномерно сходящихся рядов. Разложения в ряд функции arctg x для [x]<1
25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

44 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным рядом (ср.) называется ф.р. вида
(30.1)
При = 0 получаем ряд по степеням х.
(30.2)
Для того чтобы найти область сходимости ср., докажем теорему Абеля.
Т. (Абеля): Если степенной ряд (30.2) сходится при то он абсолютно сходится Если ряд (30.2) расходится в т. то он расходится
Пусть ряд сходится, тогда Поскольку
функция, имеющая предел, ограничена, то Перепишем ряд (30.2) в виде

Для ряда из абсолютных величин его членов
(30.3)
имеем > причем геометрическая прогрессия  сходится при Таким образом, при по первому признаку сравнения ряд (30.3) сходится, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (30.2) сходится абсолютно.
Пусть теперь ряд (30.2) расходится при Предположим в противоречие с утверждением теоремы, что при котором ряд (30.2) сходится. Но по доказанному выше ряд (30.2) должен тогда сходиться в т. Полученное противоречие с условием доказывает теорему