1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)

50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда
Этот ряд может быть также переписан в виде .
Где A_k — амплитуда k-го гармонического колебания,
— круговая частота гармонического колебания,
θ_k — начальная фаза k-го колебания, — k-я комплексная амплитуда
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= ; =
= 0 , где n=1,2, ...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n=1,2, ...Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то  , где  ,
, ,
Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд
, (6)
где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:
; (n=1, 2, 3,…); (n=1, 2, 3,…). (9)

51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций
Две вещественные функции φ₁(t) и φ₂(t) на интервале [a,b] называются ортогональными, если

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом w функции f и g, если

где  — скалярное произведение векторов f(x) и g(x) — значений векторнозначных функций f и g в точке x, x — точка области Ω, а dΩ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f(x), g(x) скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f(x), g(x):  .