1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

Xulosa: Funksiya ekstremumga ega bo‘lgan nuqtada uning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo‘lmaydi.
3-TA’RIF: Funksiya hosilasi nolga teng yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalar shu funksiyaning kritik yoki statsionar nuqtalari deyiladi.
Demak, funksiya x0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, x0 nuqta uning kritik nuqtasi bo‘ladi. Ammo bu tasdiqning teskarisi har doim ham o‘rinli bo‘lmaydi, ya’ni ekstremumning yuqorida ko‘rsatilgan
f ‘(x0)=0 zaruriy sharti yetarli shart emas.
Masalan, y=x3 funksiyaning f ‘(x)=3x² hosilasi x=0 nuqtada nolga teng va shu sababli bi funksiya uchun x=0 kritik nuqta bo‘ladi. Ammo bu nuqtada funksiya ekstremumga ega emas, chunki x<0 bo‘lganda f(x)<0=f(0) va x>0 bo‘lganda f(x)>0= f(0).
3-TEOREMA (lokal ekstremumning I yetarli sharti): Agar y=f(x) funksiya x0 kritik nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo‘lib, bu kritik nuqtani chapdan (x<x0) o‘ngga (x>x0) qarab bosib o‘tishda f ‘(x) hosila o‘z ishorasini o‘zgartirsa, u holda x0 kritik nuqtada f(x) funksiya lokal ekstremumga erishadi. Jumladan, bunda f ‘(x) hosila o‘z ishorasini musbatdan manfiyga (manfiydan musbatga) o‘zgartirsa, unda x0 kritik nuqtada f(x) funksiya lokal maksimumiga (lokal minimumiga) erishadi.
Misol sifatida f(x)=x+1/x funksiyani ekstremumga tekshiramiz. Buning uchun dastlab f ‘(x)=1–1/x² hosilani topamiz. Bunda f ‘(x)=0 tenglamadan x1=–1 va x2=1 kritik nuqtalarni aniqlaymiz. Bundan tashqari x=0 nuqtada f ‘(x) mavjud emas, ammo bu nuqta funksiyani aniqlanish sohasiga kirmaydi va shu sababli uni ekstremumga tekshirish ma’noga ega emas
Dastlab x1=–1 kritik nuqtani qaraymiz. Bunda x<–1 bo‘lganda f ‘(x)>0 va x>–1 bo‘lganda f ‘(x)<0 ekanligini ko‘ramiz. Demak, x1=–1 kritik nuqtada funksiya lokal maksimumga ega va fmax=f(–1)=–2.
Xuddi shunday ravishda x2=1 kritik nuqtada funksiya lokal minimumga ega va fmin=f(1)=2 ekanligini aniqlaymiz.
Endi f(x)=1+(x–1)^2/3 funksiyani qaraymiz. Bu holda
f’(x)=[1+(x-1)^2/3]’= (x-1)^-1/3
va hosila birorta ham nuqtada nolga teng bo‘lmaydi. Ammo x=1nuqtada hosila mavjud emas va bu nuqta funksiyani aniqlanish sohasiga kiradi. Demak, x=1 kritik nuqta bo‘ladi. Bunda x<1 bo‘lganda f ‘(x)<0 va x>1 bo‘lganda f ‘(x)>0. Demak, x=1 kritik nuqtada funksiya lokal minimumga ega va fmin=f(1)=1 bo‘ladi.