1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

Masala: Fermer bog‘ida n dona olma daraxti bor.Agar hosil hozir yig‘ib olinsa, har bir daraxtdan m kg olma olinib, uni p so‘mdan sotish mumkin. Agar hosilni yig‘ish orqaga surilsa, har haftada bitta daraxtdan olinadigan hosil miqdori r kg oshadi, ammo uning narxi q so‘mdan pasayib boradi. Bunda m, p, r va q musbat sonlardir. Fermer hosilni qachon yig‘ib olganda maksimal foyda ko‘radi ?
Yechish: Hosilni yig‘ib olinguncha o‘tgan haftalar sonini x deb belgilaymiz. Bu holda bog‘dan yig‘ilgan hosil miqdori n(m+xr) kg, uning narxi esa p–xq so‘mga teng bo‘ladi. Unda olmani sotishdan olingan foyda f(x)= n(m+xr)( p–xq) funksiya bilan ifodalanadi. Bu funksiyani ekstremumga tekshiramiz. Dastlab uning hosilasini hisoblab, x0 kritik nuqtasini topamiz:
f ’(x)=n(m+xr)’(p-xq)+ n(m+xr)(p-xq)’=n[(rp-mq)-2qrx]=0=>x₀=
Bu yerda f′′(x)=–2qr<0 bo‘lgani uchun x0 kritik nuqtada foyda funksiyasi f(x) maksimumga erishadi va foydaning maksimal qiymati quyidagicha bo‘ladi:
3. Funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik sohalari. Funksiyaning yana bir muhim xususiyatlaridan biri uning qavariqligi va botiqligi bo‘lib hisoblanadi. Bunga misol sifatida fizikaning optika bo‘limida qaraladigan qavariq va botiq linzalarni ko‘rsatish mumkin.
4-TA’RIF: Agar y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va uning grafigi bu oraliqdagi har bir M(x,f(x)) nuqtada o‘tkazilgan urinmasidan pastda (yuqorida) joylashgan bo‘lsa, u shu oraliqda qavariq (botiq) deyiladi (58-59- rasmlarga qarang).

Masalan, y=e^x grafigi (–∞, ∞) oraliqda botiq; y=lnx grafigi (0, ∞) oraliqda, ya’ni aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarda qavariq; y=sinx funksiyaning grafigi (0,ℼ) oraliqda qavariq, (ℼ,2ℼ) oraliqda esa botiq bo‘ladi.

Umumiy holda y=f(x) funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik sohalari uning II tartibli hosilasi orqali quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.