1. Fur’e qatori haqida tushuncha Fur’e integraliga malumotlar Juft funksiyaning Fur’e integrali

MAVZU: Fur’ye integrali. Fur’ye almashtirishi
1. Fur’e qatori haqida tushuncha
2. Fur’e integraliga malumotlar
3.Juft funksiyaning Fur’e integrali
4. Toq funksiyaning Fur’e integrali
5.Fur’ye almashtirishi

1.1. Fur’e qatori haqida tushuncha
ASOSIY QISM
Davri ga teng bo’lgan uzluksiz yoki bo’lakli uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin. Quyidagi o’zgarmas miqdorlarni ( funksiyaning Fur’e koeffitsiyentlarini) hisoblaymiz:
(1.1)
va bular yordamida berilgan funksiyaning Fur’e qatorini tuzamiz:
(1.2)
Eslatma. Agar funksiya ixtiyoriy chekli oraliqda bo’lakli-uzluksiz va shu bilan birga davri bo’lsa, ya’ni bajarilsa, uzunlikdagi oraliq bo’yicha olingan

integralning qiymati α ga bog’liq bo’lmaydi.
Isbotlashda F uzluksiz bo’lgan hol bilan chegaralaymiz. Ravshanki,

Oxirgi integralda almashtirish bajarilsa, u

ga teng bo’ladi. Bu integral yuqoridagi birinchi integraldan faqat ishorasi bilangina farq qiladi. Demak, tekshirilayotgan integral ga bog’liq bo’lmagan

integralga teng ekan. Bu natija ixtiyoriy bo’lakli-uzluksiz funksiya uchun ham yengilgina isbot etiladi.
Keltirilgan eslatmadan biz kelgusida foydalanamiz. Xususan, Fur’e koeffitsiyentlarini aniqlovchi (1) formulalarda ham integrallar uzunligi ga teng bo’lgan ixtiyoriy oraliq bo’yicha olinishi mumkin. Masalan, quyidagicha yozish mumkin edi:
(1.3)
va hokazo.
Yuqoridagi (2) qatorning qandaydir aniq bir nuqtada yaqinlashuvchiligini tekshirish maqsadida uning ushbu

xususiy yig’indisi uchun qulayroq ifoda tuzaylik. a_m, b_m lar o’rniga ularning (1) dagi integral ifodalarini qo’yamiz va o’zgaramas sonlarni integral ishorasi ostiga kiritamiz:

Osongina tekshiriladigan ushbu

ayniyatdan integral ostidagi ifodani almashtirishda foydalanib, yuqoridagi ifodani
(1.4)
ko’rinishga keltiramiz. Bu integralni, odatda Dirixle integrali deb yuritishadi (garchand, u Furye ishlarida avvalroq uchragan bo’lsa ham).
Integral ostidagi ifoda u argumentning davrli funksiyasi bo’lgani uchun va yuqoridagi eslatmaga ko’ra, integrallash oralig’i ni masalan oraliqqa almashtirish mumkin:

Bu integralni almashtirish bilan quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

Endi bu integralni ikki integral yig’indisi qilib yozamiz, ikkinchi integralda o’zgaruvchi ishorasini o’zgartirib uni ham oraliq bo’yicha olingan integralga keltiramiz. Natijada Fur’e qatorining xususiy yig’indisi uchun ushbu ifodani hosil qilamiz:
(1.5)
Shunday qilib, masala, shu integralning parametr n cheksizlikka intilganda yaqinlashishini tekshirishga keldi. Bu yerda paydo bo’lgan masalaning o’ziga xos tomoni shundaki, uni yechish maqsadida integral ishorasi ostida limitga o’tish qoidasidan foydalanib bo’lmaydi^*.