1. Fur’e qatori haqida tushuncha Fur’e integraliga malumotlar Juft funksiyaning Fur’e integrali

II.BOB. FUR’E INTEGRALI
2.1 JUFT FUNKSIYANING FUR’E INTEGRALI
Agar f(x) funksiya da juft bo’lsa, u holda istalgan h uchun

b(h)=0 (2.1)
bo’ladi. Bundan istalgan uchun
(2.2)
bo’ladi. Agar x nuqta f(x) ning uzluksizlik nuqtasi bo’lsa, u holda ushbu
(2.3)
formulaga ega bo’lamiz.
Misol. Ushbu funksiyaning Fur’e integrali topilsin.
Bu funksiyani juft bo’lgani uchun (2.9) ga asosan

bo’ladi. Ushbu

formulaga ko’ra

va
b(h)=0
bo’lib,

integral hosil bo’ladi.

TOQ FUNKSIYANING FUR’E INTEGRALI
Agar funksiya da toq funksiya bo’lsa, u holda istalgan x uchun
a(h)=0,
(2.4)
bo’ladi.
a(h) va b(h) larning qiymatlarida ixtiyoriy uchun
(2.5)
Formula hosil bo’ladi. Bundan f(x) ning uzluksizlik nuqtalari uchun
(2.6)
Munosabat kelib chiqadi.

Misol. Ushbu

Funksiyaning Fur’e integrali yozilsin.
Yechilishi. Bu funksiya toq bo’lgani uchun

Endi b(h) ni (1.14) ga qo’ysak, istalgan x uchun

bo’ladi.
Faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo’yicha yoyish
Agarda oraliqda (uzluksiz yoki hech bo’lmasa, bo’lakli-uzluksiz) toq funksiya berilgan bo’lsa, u holda

bo’ladi. Bu integralni ikkita integral yig’indisi sifatida yozib, ikkinchi integralda o’zgaruvchi x ni ­–x ga almashtirish bilan bunga ishonch hosil qilish mumkin. Xuddi shuningdek, juft funksiya uchun

ekanini ko’rsatish mumkin.
Endi, da bo’lakli-differensiallanuvchi, juft funksiya berilgan bo’lsin. U holda ko’paytma toq funksiya bo’ladi va, demak,

Shunday qilib, juft funksiyaning Fur’e qatorida faqat kosinuslar ishtirok etadi:
(2.7)
Ayni vaqtda funksiya ham juft bo’lgani uchun va, yuqoridagi ikkinchi eslatmaga asoslanib a_n koeffitsiyentlarni quyidagicha yoza olamiz:
(2.8)
Agar berilgan funksiya toq bo’lsa, u holda funksiya ham toq funksiya bo’ladi va, demak,

Bundan toq funksiyaning Fur’e qatorida faqat sinuslargina ishtirok etadi degan xulosaga kelamiz:
(2.9)
Shu bilan birga, ning juft funksiya bo’lishligidan yoza olamiz:
(2.10)
Kezi kelganda shuni ham aytib o’tish kerakki, da berilgan ixtiyoriy funksiyani ikkita – biri toq, biri juft funksiyalarning yig’indisi sifatida yozish mumkin:

bu yerda

Ravshanki, funksiyaning Fur’e qatori ning faqat kosinuslar bo’yicha, ning faqat sinuslar bo’yicha yoyilmalarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
Endi funksiyamiz faqat oraliqda berilgan deb faraz qilaylik. Uni shu oraliqda Fur’e qatoriga yoyish maqsadida, funksiyamizni x ning oraliqdagi qiymatlari uchun ixtiyoriy (ammo bo’lakli differensiallanishini saqlab) aniqlab, aniqlanish sohasini ga to’ldiramiz. Funksiyani aniqlashdagi bu ixtiyoriylik, funksiya uchun har xil trigonometrik qatorlar hosil qilish imkoniyatini beradi.
Funksiyaning oraliqda aniqlanishining ixtiyoriyligidan foydalanib, ni faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo’yicha yoyilmasini hosil qilish mumkin. Haqiqatdan ham, da
(2.11)