1. Fur’e qatori haqida tushuncha Fur’e integraliga malumotlar Juft funksiyaning Fur’e integrali

1.2 Fur’e integrali
(-l,l) kesmada aniqlangan f(x) kunksiya Dirixle teoremasini shartlarini qanoatlantirsa, u holda
(1.7)
ko’rinishidagi Fur’e qatori vositasida har tomonlama o’rganish mumkinligini ko’rgan edik. (1.1) qator koeffisientlari

va
n=1,2,… (1.8)
formula bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasi asosan (2.1) qatorning yig’indisi (-l,l) ga tegishli istalgan x uchun ushbu
(1.9)
tenglikni qanoatlantiradi.
Soddalik uchun dastavval f(x) ni (-l,l) da Dirixle teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda (1.3) tenglikning o’ng tomoni istalgan -l uchun f(x) gat eng bo’ladi, ya’ni istalganda katta shekli (-l,l) dagi o’zgarish qonuniyatini uning mos Fur’e qatori vositasida to’liq o’rgana olamiz. Ammo l chekli ortga borib, cheksizlikga intilsa , masala ancha murakkablashadi va ushbu

Fur’e qatori (-l,l) dagi xosmas Fur’e integrali deb ataluvchi integraldan iborat bo’ladi.
Darhaqiqat, agar (2.1) da koeffisientlar o’rniga ularning (2.2) dagi ifodalarini qo’ysak, istalgan uchun
(1.9)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar f(x) funksiya da absolyut integrallanuvchi, ya’ni
(1.10)
bo’lsa, u holda da
(2)
bundan , k=1,2,… desak, bo’lib, istalgan k uchun
bo’ladi va ushbu
(2.7)
tenglikni hosil qilamiz. Agar (2.7) da

deb olsak, (1.7) tenglikning o’ng tomonidagi limit belgisi ostidagi cheksiz yig’indi F(t,x) ning t ga nisbatan Riman integrali yig’indisi bo’ladi. Shuning uchun l ning juda katta qiymatlarida so’nggi tenglikning chap tomonidagi integral absolute yaqinlashuvchi bo’lganidan foydalanib uni ushbu

integral bilan almashtirsak, u holda

bo’ladi, dagi limitini ushbu

Integral uchun Riman ma’nosidagi xosmas integral deb olamiz, u holda
(2.1)
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral Fur’e integrali bo’lib, (1.8) esa f(x) ning Fur’e integrali vositasidagi ifodasi deyiladi.