1. Fur’e qatori haqida tushuncha Fur’e integraliga malumotlar Juft funksiyaning Fur’e integrali

Asosiy lemma. Tekshirishlarimizni davom ettirishdan oldin, kelajakda qo’llaniladigan ushbu lemmani isbot qilamiz (bu muhim lemma Rimanga tegishlidir):
Agar g(t) funksiya chekli oraliqda uzluksiz yoki bo’lakli-uzluksiz bo’lsa, u holda

va shunga o’xshash,

bo’ladi.
Lemmani isbotlash uchun ni uzluksiz deb faraz qilib birinchi munosabatni isbot qilish yetarlidir.
Dastavval, ushbu tengsizlikni e’tiborga olaylik: ixtiyoriy chekli oraliq uchun ushbu baholash o’rinli bo’ladi:
(1.5)
Endi oraliqni
(1.6)
nuqtalar bilan n bo’lakka bo’lamiz va shunga mos ravishda, integralni ham integrallar yig’indisi qilib yozamiz.

funksiyaning i-segmentchadagi eng kichik qiymatini m_i bilan belgilab, yuqoridagi ifodani quyidagicha yozib olish mumkin:

Agar funksiyaning i-segmentchadagi tebranishini desak, shu segmentchadagi t lar uchun bo’ladi. Yuqoridagi (5) tengsizlikni e’tiborga olib, qarayotgan untegralimiz uchun quyidagi bahoni olamiz.

Ixtiyoriy kichik olib, oraliqni (6) bo’yicha bo’laklashni shunday tanlaymizki, bo’lsin. U holda

funksiyaning uzluksizligidan, bo’laklashni ko’rsatilgandek tanlab olish mumkin. Endi, m_i lar ham aniqlangani uchun deb olish mumkin, ana shu p lar uchun

ga ega bo’lamiz. Demak, lemma isbot etildi.
Bu yerda integrallar intilayotgan limitlar integral ishorasi ostida limitga o’tish qoidasini qo’llanmay aniqlanganiga e’tiborimizni jalb qilamiz.
Fur’e koeffitsiyentlarini ifodalovchi (1) formulalarni eslab, keltirlgan lemmaning bevosita natijasi sifatida quyidagi faktga ega bo’lamiz:
Bo’lakli-uzluksiz funksiyaning Fur’e koeffitsiyentlari da nolga intiladilar.