1. Ikki o’lchovli (karrali) integral tushunchasi

Ikki o’lchovli integralning asosiy xossalari

1⁰. o’zgarmas ko’paytuvchini ikki karrali integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni k‑biror son bo’lsa, u holda:

=k
2⁰. Bir necha funktsiya yigindisidan olingan ikki karrali integral qo’shiluvchilardan olingan ikki karrali integrallar yig’indisiga teng.
= +
3⁰. Аgar  integrallash sohasida (x,y)0 tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda 0 bo’ladi.
4⁰. Аgar integrallash sohasida (x,y)0 uzluksiz funktsiya vа sohaning kamida bitta nuqtasida (x,y)>0 bo’lsa, u holda >0.
5⁰. Аgar integrallash sohasida (x,y) vа (x,y) funktsiyalar (x,y)>(x,y) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda

6⁰. Аdditivlik xossasi. Аgar integrallash sohasi bir necha ₁ ,₂ ,..., _k bo’laklarga bo’lingan bo’lsa, u holda
= + +...+ 0
7⁰.(o’rta qiymat haqidagi teorema). (x,y) funktsiya yopiq chegaralangan  sohada uzluksiz bo’lsin. U holda  sohada shunday P₀(x₀,y₀) nuqta topiladiki, bunda
= f(x₀,y₀)  bo’ladi.
Аgar  sohada (x,y)  0 bo’lsa, u holda bu teorema bunday geometric mazmunga ega.
Silindrik jismning hajmi, аsosi shu silindrik jismning asosi  dan iborat vа balandligi funktsiyaning  sohaning biror P₀(x₀,y₀) nuqtasidagi qiymatiga teng bo’lgan silindrning hajmiga teng. Funktsiyaning (x₀,y₀) qiymatiga integral ostidagi (x,y) funktsiyaning  sohadagi o’rta qiymati deb ataladi.
Ikki oʻlchovli integral, uning xossalari, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash.
Rimanning karrali integrallar nazariyasi fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri, uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. bo‘lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo‘lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz. Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda quyidagi
(1)
funksiyaning soha uchun integral yig‘indisinituzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.