1. Introduction Consider hydrodynamic systems in Riemann

This method was proposed in ref. [4] for the first 
time (see also ref. [5] ). Let 
H, (R) be any solution 
of the overdetermined system 
 
 which is easily shown to be completely integrable for 
any __ satisfying (2) and (3). The general solution 
of (15) is given by
__________, where ____are n 
arbitrary functions of the corresponding variables. 
Now write down 
(16) 
This system is again completely integrable 
(i.e.
____________) for any choice of the arbitrary 
functions _____and its solutions _____
 
are 
automatically solutions of (1). Moreover, any 
solution of (1) may be obtained in this way, 
because the ____
 are arbitrary. 
Given the initial data 
R (x, 0) we insert them in 

---

the __-part of eq. (16) to find,_____. Then the t-
part of (16) gives the time evolution of 
R(x, 0). 
This solves the initial value problem, 
For the system (8) eq. (15) assumes the form
and we can choose 

Then (16) can be rewritten in the form 
Using the identities

---

straightforward manner the validity of the following 
formulas, 
However, this is equivalent to 
(_____________________)
 and 
after integration we obtain (9).
 
3. Linearization via a reciprocal transformation 

---

The hydrodynamic flow 
___________, is said 
t o co m mu t e wi th th e f lo w _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , if
This condition is easily seen to be equivalent to 
 
Proposition. Any WNS system (1 ) has exactly n-2 
nontrivial WNS flows, commuting with it. 
Proof Let us add to (18) the condition of weak 
nonlinearity 
________. The obtained linear 
system for 
w' is completely integrable (in case the __ 
satisfy (2) and (3)) and possesses 
n linearly 
independent solutions. There are two trivial ones 
among them: one i s _ _ _ , t h e o t h e r _ _ _ _ _ . S e
w e h a v e
n - 2 n o n t r i v ial solutions. 
Remark. In fact any WNS system has an infinite 
number of commuting flows (see ref. 12] y How -
eve r, amo n g th e m th ere a r e o n l y n -2 wea kl y 
nonlinear.
 
Let us write down all these commuting flows 
together: 
Where ___ are the new "times" 
(t, = t). The R are re-
garded now as functions depending not only on 
x and 
t
i
, but also on i,. It is convenient to rewrite (19) in 
the equivalent exterior form 

---

Let us introduce the 
new 
independent variables ___
, 
_________
 
by the formula ( 
) 
where __
(R) is any solution of (15). (This formula 
is correct, because the right hand side of (21) is a 
closed one-form of the solutions of the system (19). 
It may be proved directly using (15) and (18 ). )
Transformations of the type (21) are known as "re -
ciprocal". In the new independent variables ____ 
 the 
system (20) becomes linear: 
(
)
Its complete integral is ___________
. Returning to 
the "old" variables 
x, t we obtain the complete 
integral of (19). 
To illustrate this procedure, consider again the 
system (8). Its WNS commuting flows are 
( 
) 
(here ________ in the expression for ____
 means the 
sum- 
mation over all monomials _________ with ______ 
_ _ _ _ _
 an d al l _ _ _ , d ist inc t. In t his not at ion 
( _ _ _ _ _ _ _
). Eq. (20) assumes the form 

---

with the choice ( 
) the reciprocal transformation (21) assumes the form ( 
). On e can exp licit l y "in v ert" (2 3 ) to o b tain
th e expressions for ______________ through 
_________ 
I n t he var ia bl e s __ _  we ha ve _ _ _ _ _ . This is 
equivalent to _____ where the ____ 
 
are some 
arbitrary functions. Inserting this in (24) and 
integrating once we arrive at the complete integral of 
the system (22 ): ( 

---

). Formula (9) is obtained from (25) after _______

will be set equal to zero. This means restricting only 
to the _____ evolution.