1. Koordinatalarni almashtirish Slindrik koordinatalar sistemasi
Download 224.37 Kb.
|
Barno Mustaqil ish
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4. Mavzuga doir masalalar yechish.
2 .Sferik koordinatalar sistemasi.
Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritish uchun Oxyz -Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan deb hisoblab,berilgan M nuqta uchun markazi koordinata boshida bo'lgan va radiusi ρ = OM ga teng bo'lgan sferani qaraymiz. Berilgan M nuqtaning Oxy tekisligiga proeksiyasini M ′ bilan,OM vektor va Oz o'qi orasidagi burchakni ϕ bilan, OM ′vektor va Ox orasidagi burchakni ψ bilan belgilaymiz. Burchaklarni aniqlashdaϕ burchak shunday tanlanadiki ,Oz o'qining musbat yo'nalishi tomonidan qaraganimizda, Ox o'qini OM ′nur bilan ustma ust tushirish uchun soat mili yo'nalishiga qarshi yo'nalishda ϕ burchakka burish kerak. Yuqorida aniqlangan ρ, ϕ,ψ kattaliklar M nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi. Bunga sabab, fazoning koordinatalari ρ = const tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalari to'plami sferani tashkil qiladi. Fazoning har bir nuqtasi radiusi koordinata boshidan shu nuqtagacha bo'lgan masofaga teng bo'lgan sferada yotadi. Nuqtaning dekart koordinatalari bilan sferik koordinatalari orasidagi bog'lanish quyidagicha bo'ladi: . Odatda fazo nuqtalari blan ularning sferik koordinatalari oraksidagi moslik o'zaro bir qiymatli bo'lishi uchun ular uchun 0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ ϕ < 2π , 0 <ψ < π chegaralar qo'yiladi. Fazoda sferik koordinatalar sistemasini kiritganimizda fazo markazi bitta nuqtada bo’lgan sferalarga ajraladi. Agar nuqtaning sferik koordinatalari ρ, ϕ,ψ bo’lsa, u yotgan sferaning radiusi ρ ga teng bo’ladi. Bu masofa nuqtadan koordinatalar boshigacha bo’lgan masofaga tengdir. Nuqta ρ radiusli sferada yotgan bo’lsa, ϕ va ψ burchaklar uning sferadagi vaziyatini aniqlaydi. 4. Mavzuga doir masalalar yechish. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo'nalishi soat strelkasi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o'ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientasiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga {i, j} va {i′, j′} ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda Oxy va O′x′y′ bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. “Yangi» koordinatalar sistemasi markazining «eski» koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a,b) bilan belgilaylik Tekislikda M nuqta berilgan bo'lib,uning Oxy va O′x′y′ sistemalardagi koordinatalari mos ravishda(x, y) va(x′, y′) juftliklardan iborat bo'lsin. Biz quyidagi tengliklarga ega bo'lamiz: OM = xi + y j , O′M = x′i′ + y′ j′ , OO′ = ai + b j Har bir vektorni{ i, j} bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun
OM = OO′ + O′M , OM = xi + y j tengliklarga qo'yib xi + y j = ai + b j + a11x′i + a12x′ j + a21y′i + a22 y′ j tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari {i, j} chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan x = a11x′ + a21 y′ + a y = a21x′ + a22 y′ + b formulalarni olamiz. Endi aij koffisientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz. Birinchi hol: { i, j}va { i′, j′} bazislar bir хil orientasiyaga ega. Bu holda agar ϕ bilan i va i′ vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, j va j′ vektorlar orasidagi burchak ham ϕ ga teng bo'ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini i va j vektorlarga skalyar ko'paytirib a11 = cosϕ ,a12 = sinϕ , a 21 = -sinϕ , a 22 = cosϕ formulalarni olamiz.Agar { i, j}va { i′, j′} bazislar har хil orientasiyaga ega bo'lsa, j va j′ vektorlar orasidagi burchak π - ϕ ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini i va j vektorlarga skalyar ko'paytirib a11 = cosϕ ,a12 = sinϕ , a 21 = sinϕ , a 22 = cosϕ formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo'yib mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz: Bu holda o'tish determinanti uchun tenglik o’rinli. Ikkinchi holda bazislarning orientasiyalari har Аil va koordinatalarni almashtirish formulalari Bu holda o'tish determinanti uchun tenglik o'rinli bo'ladi. Demak koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o’tish matritsasinig determinanti musbat bo’lsa, oriyentatsiya o’zgarmaydi. Agar o’tish matritsasining determinanti manfiy bo’lsa, oriyentatsiya qarama-qarshi oriyentatsiyaga o’zgaradi. Download 224.37 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling