1-laboratoriya ishi mavzu: Turli modellar tuzishga doir misollar yechish. Kerakli texnik vositalar

Nazariy qism
Oddiy progonka usuli. oraliqda
(1)
differensial tenglamaning
(2)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda , - oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar bo‘lib, - lar va shartlarni qanoatlantirsin.
Teorema. Agar , funksiyalar oraliqda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi va bo‘lsa, (1), (2) chegaraviy masala yagona yechimga ega bo‘ladi.
oraliqni nuqtalar bilan to‘r(setka)ga ajratib, , , belgilashlarni kiritamiz. Ichki nuqtalar uchun chekli ayirmalardan foydalanib, aniqlikda (1) tenglamani
(3)
(2) chegaraviy shartni esa
(4)
ko‘rinishda yozib olamiz.
(3) da ekanligini hisobga olib, uni (4) ga qo‘yamiz va

tenglikni hosil qilib, uni

ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda , .
Xuddi shunga o‘xshash (3) da ekanligini hisobga olib, uni (4) ga qo‘yamiz va

tenglikni hosil qilib, uni
(5)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda , .
(3) va (4) birgalikda – noma’lumlarni o‘z ichiga olgan ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
Agar sistemani
,
matrisa ko‘rinishida ifodalasak, uchta diagonalidagi elementlar noldan farqli matrisa (uchdiagonalli matrisa) bo‘ladi. Bu sistemani Gauss, Kramer, teskari matrisa usullari bilan yechish yaxshi samara bermaydi. Shu sababli bu sistemani yechish uchun progonka usulidan foydalanamiz.
Umumiy
, (6)
ko‘rinishdagi uchdiagonalli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu yerda lar ga boѓliq o‘zgarmaslar.
(6) ning yechimini
, (7)
ko‘rinishda ifodalaymiz. Bu yerda - lar ma’lum, - lar esa hozircha noma’lum koeffisiyentlar.
(7) da ni ga almashtirib, ga ega bo‘lamiz va o‘rniga uning (7) dagi ifodasini olib kelib qo‘yamiz. Natijada
, (8)

tenglikni hosil qilamiz. (7), (8) larni (6) ga olib borib quyib,


tenglikga ega bo‘lamiz. Bu tenglikda oldidagi koeffisiyentlarni hamda ozod hadlarni nolga tenglashtirib,


tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerdan larni hisoblash uchun
(9)
formulalarga ega bo‘lamiz. (9) to‘ѓri progonka formulasi deb ataladi va u larni bilgan holda larni hisoblash imkonini beradi.
larning qiymatlarini aniqlab, ularni (5) ga qo‘ysak, natijada

yoki

ga ega bo‘lamiz. ni bilgan holda, (7) formula yordamida larning qiymatlarini hisoblaymiz. Bu amal teskari progonka deb ataladi.
Teorema (progonka usulining turѓunligi haqida). Agar ; shartlar bajarilsa progonka usuli turѓun bo‘ladi.
Misol.

differensial tenglamaning

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini berilgan dastur yordamida aniqlang.
Tekshirib ko‘rish mumkinki, berilgan chegaraviy masala aniq yechimga ega. Ќuyidagi jadvalda masalaning ni ayrim tugun nuqtalariga mos keluvchi taqribiy va aniq yechimlari qiymatlari keltirilgan.

	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Taq. yechim	0,986	1,089	1,193	1,302	1,417	1,540	1,673	1,819	1,978	2,153	2,345
Aniq yechim	1,000	1,100	1,203	1,309	1,421	1,542	1,672	1,814	1,971	2,143	2,333

Paskal tilida progonka usuliga tuzilgan dastur matni: