1-laboratoriya ishi mavzu: Turli modellar tuzishga doir misollar yechish. Kerakli texnik vositalar

4-LABORATORIYA ISHI


Mavzu: Bir noma’lumli algrebraik va transsendent tenglamalarni oddiy iterasiya usulida yechish.
Kerakli texnik vositalar:
Shaxsiy kompyuter.
Kerakli dasturiy vositalar:
Turbo Paskal dasturlash sistemasi va transendent tenglamalarni yechish uchun oraliqni teng ikkiga bo‘lish, vatarlar va urinmalar usullariga tuzilgan dasturlar.
Ishning maqsadi: Talabalarni transendent tenglamalarni taqribiy yechish algoritmi bilan tanishtirish va unga Paskal tilida tuzilgan dasturda ishlashga o‘rgatish.
Topshiriq
1-masala. Berilgan tenglamalarni oraliqni teng ikkiga bo‘lish va vatarlar usullari yordamida =0,01 aniqlikda taqribiy yeching.
1. x³+2x-5=0 [0;2] 2. e^x+2x-7=0 [0;2]
3. 2x-3-sinx=0 [0,5;2,5] 4. cosx-x³-x=0 [0;1]
5. xsinx+x-1=0 [0;1] 6. x-e^x+2=0 [-2;-1]
7. x³-2x²-x+2=0 [1,1;2,5] 8. 2^-x-x=0 [0;1]
9. 3^x+x-6=0 [1;2] 10. x+log₂x-2=0 [1;2]
11. x+2-e^-x=0 [-1;0] 12. x+0,5(2,5)^x-3,5=0 [0,5;1,5]
13. lnx-2+x=0 [1;2] 14. e^2x+2x-5=0 [0,5;1,5]
15. 9x-2+10^0,5x=0 [0;1]
2-masala. Berilgan tenglamalarni urinmalar usuli yordamida =0,01 aniqlikda taqribiy yeching.
1. x⁵-x-0,2=0 x₀=1 2. x⁴-3x²+75x-10000=0 x₀=-20
3. x+2^x-2=0 x₀=0,5 4. x³-2x²-x+2=0 x₀=-2
5. 4^x+2x=0 x₀=1 6. e^x-2+x=0 x₀=0
7. sinx-2x=0 x₀=0,1 8. x⁴+x²-x-4=0 x₀=1
9. 5^x-x²-2=0 x₀=0 10. log_0,5x-x²-1=0 x₀=0,2
11. e^2x-x²-3=0 x₀=0,5 12. 3^x+2x=0 x₀=-1
13. e^3x+4x-6=0 x₀=1 14. x³-3x²+5x-3=0 x₀=0,5
15. 2x³-3x²+4x-6=0 x₀=1
Nazariy qism
Chekli [a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz f(x) funkiya berilgan bo‘lib, uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu oraliqda mavjud bo‘lsin. Shu bilan birga [a,b] da f’(x) funksiya o‘z ishorasini saqlasin.
f(x)=0 (1)
tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘lsin va bu yechimni berilgan >0 aniqlikda topish talab qilingan bo‘lsin. Ќuyida bu yechimni aniqlash uchun bir necha sonli usullar, ularning Paskal algoritmik tilida tuzilgan programmalarni keltiramiz.
Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli. [a,b] oraliqni x₀=(a+b)/2 nuqta orqali ikkita teng [a,x₀] va [x₀,b] oraliqlarga ajratamiz. Agar a-x₀ bo‘lsa, x=x₀ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy yechimi bo‘ladi. Bu shart bajarilmasa, [a,x₀] va [x₀,b] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a₁,b₁] deb belgilaymiz. x₁=(a₁+b₁)/2 nuqta yordamida [a₁,b₁] oraliqni ikkita teng [a₁,x₁] va [x₁,b₁] oraliqlarga ajratamiz. a₁-x₁ bo‘lsa, x=x₁ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy yechimi bo‘ladi, aks holda [a₁,x₁] va [x₁,b₁] oraliqlardan (1) tenglama ildizi joylashganini tanlab olamiz va uni [a₂,b₂] deb belgilaymiz. Bu oraliq uchun yuqoridagi hisoblashlar ketma-ketligini a_i-x_i (i=2,3,4,…) shart bajarilguncha davom ettiramiz. Natijada (1) tenglamaning x=x_i taqribiy yechimini hosil qilamiz.
Misol. f(x)=x⁴-x³-2x²+3x-3 tenglamaning [-2;1] oraliqdagi ildizini =0,01 aniqlikda hisoblang.
Yechish. 7- qadamda a₇=-1,7305 va b₇=-1,7363 bo‘lib, a₇-b₇=0,01 shart bajariladi.
(javob: =-1,73(0,01)).
Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga Paskal tilida tuzilgan dastur matni:
program oraliq2; uses crt; {Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli}
var a,b,eps,x,fa,fc,c:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('eps='); read(eps);
fa:=f(a);
while abs(b-a)>eps do
begin
c:=(a+b)/2;
fc:=f(c);
if fa*fc<=0 then b:=c else begin a:=c; fa:=fc end;
end;
writeln('x=',c:10:4);
end.
Vatarlar usuli. Aniqlik uchun f(a)>0 ( f(a)<0 ) bo‘lsin. A=A(a;f(a)), B=B(b;f(b)) nuqtalardan to‘ѓri chiziq o‘tkazamiz va bu to‘ѓri chiziqni Ox o‘qi bilan kesishish nuqtasini deb belgilaymiz. Agar |a-x₁| bo‘lsa, x=x₁ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy yechimi bo‘ladi. Bu shart bajarilmasa, b=x₁ (a=x₁) deb olamiz. A, B nuqtalardan to‘ѓri chiziq o‘tkazamiz va uning Ox o‘qi bilan kesishish nuqtasini deb olamiz. Agar |x₂-x₁| shart bajarilsa, x=x₂ (1) tenglamaning  aniqlikdagi taqribiy yechimi bo‘ladi, aks holda b=x₂ (a=x₂) deb olib, yuqoridagi amallar ketma-ketligini |x_i-x_i-1| (i=3,4,…) shart bajarilguncha davom ettiramiz. Natijada (1) tenglamaning x=x_i taqribiy yechimini hosil qilamiz.
x_n larning ketma-ket hisoblash formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Misol. tg(0,55x+0,1)-x²=0 tenglamaning [0,6;0,8] oraliqdagi ildizini =0,005 aniqlikda hisoblang.
Yechish. x₂-x₁=0,002< bajariladi. x₂=0,7517; x₁=0,7417 bundan x=0,7517.
Vatarlar usuliga Paskal tilida tuzilgan dasturning ko‘rinishi:
program vatar; uses crt; {Vatarlar usuli}
label 1,2;
var a,b,eps,x:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('eps='); read(eps);
2: x:=b;
x:=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));
if abs(x-b)1 else begin b:=x; goto 2 end;
1: writeln('x=',x:8:4);
end.
Urinmalar usuli. [a,b] oraliqda f^/(x) va f^//(x) ning ishoralari o‘zgarmasdan qolsin. f(x) funksiya grafigining V=V(b,f(b)) nuqtasidan urinma o‘tkazamiz. Bu urinmaning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtasini b₁ deb belgilaymiz. f(x) funksiya grafigining V₁=V₁(b₁,f(b₁)) nuqtasidan yana urinma o‘tkazamiz va bu urinmaning Ox o‘qi bilan kesishgan nuqtasini b₂ deb belgilaymiz. Bu jarayonni bir necha marta takrorlab, b₁,b₂,...,b_n larni hosil qilamiz. shart bajarilganda hisoblash to‘xtatiladi.

Misol. tg(0,55x+0,1)-x²=0 tenglamaning [0,6;0,8] oraliqdagi ildizini =0,005 aniqlikda hisoblang.
Yechish. b₂-b₁=0,002; x=b₂ =0,7503.
Urinmalar usuliga Paskal tilida tuzilgan dasturning ko‘rinishi:
program urinma; uses crt; {Urinmalar usuli}
var x0,eps,x1,a:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyasining ko‘rinishi }
end;
function fx(x:real):real;
begin
fx:= { f’(x) funksiyasining ko‘rinishi}
end;
begin clrscr;
write('x0='); read(x0);
write('eps='); read(eps);
x1:=x0;
repeat
a:=f(x1)/fx(x1);
x1:=x1-a;
until abs(a)
writeln('x=',x1:10:4);
end.