1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

Теорема 1.3.2 (полнота). Каждое конечномерное подпространство нормированного пространства является полным. В частности, каждое конечномерное нормированное пространство является полным.


Доказательство. Мы рассмотрим произвольную последовательность Коши в и покажем , что она сходится в ; предел будет обозначать через . Пусть и любаой базис для . Тогда каждый из них имеет единственное представление в форме

Поскольку это последовательность Коши, для каждого существует такое, что когда . Из этого и леммы 1.3.1 мы имеем для некоторых

где . Деление на дает

Это показывает, что каждая из последовательностей

Вляется последовательностью Коши в или в . Следовательно, оно сходится; пусть обозначает предел. Используя эти определы , мы находим

Очевидно, что . Кроме того,

Справа, . Следовательно то есть Это показывает, что сходится в . Поскольку была произвольная последовательность Коши в , это доказывает, что является полной.

Теорема 1.3.3 (замкнутость). Каждое конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто .

Обратите внимание, что бесконечномерные подпространства не обязательно должны быть замкнутыми.

Пример. Пусть и , где , так что это множество всех многочленов. не замкнут в . (Почему?) Другим интересным свойством конечномерного векторного пространства является то, что все нормы на приводят к одной и той же топологии для , то есть открытые подмножества одинаковы, независимо от конкретного выбора нормы на . Подробности заключаются в следующем.