1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

Теорема 1.2.2(полнота). Пусть - нормированное пространство. Тогда существует банахово пространство и изометрия из в подпространство из , плотное внутри . Пространство единственна, за исключением изометрий.


1.3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОДПРОСТРАНСТВА

Являются ли конечномерные нормированные пространства проще, чем бесконечномерные? В каком отношении? Эти вопросы вполне естественны. Они важны, поскольку конечномерные пространства и подпространства играют определенную роль в различных рассмотрениях (например, в теории приближений и спектральной теории). В этой связи можно сказать довольно много интересного. Следовательно, имеет смысл собрать некоторые относящиеся к делу факты, как ради них самих, так и в качестве инструментов для нашей дальнейшей работы. Это наша программа в этом разделе и в следующем.

Источником результатов желаемого типа является следующая лемма. Очень грубо говоря, в нем говорится, что в случае линейной независимости векторов мы не можем найти линейную комбинацию, которая включает большие скаляры, но представляет собой небольшой вектор.

Лемма 1.3.1 (Линейные комбинации). Пусть – линейно независимое множество векторов в нормированном пространстве (любой размерности). Тогда существует такое число , что для каждого выбора скаляров мы имеем
. (1.3.1)
Доказательство. Мы пишем . Если все равны нулю , то (1.3.1) справедливо для любого . Пусть . Тогда (1.3.1) эквивалентно неравенству, которое мы получаем из (1.3.1) путем деления на и записи , то есть
(1.3.2)

Следовательно, достаточно доказать существование такого , что (1.3.2) выполняется для каждого кортежа скаляров с .

Предположим, что это неверно. Тогда существует последовательность of

такой , что

Теперь мы рассуждаем следующим образом. Поскольку мы имеем, что . Следовательно, для каждой фиксированной последовательность

является ограниченным. Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса, имеет сходящуюся подпоследовательность. Пусть обозначим предел этой подпоследовательности, и пусть обозначает соответствующую подпоследовательность По тому же аргументу, имеет подпоследовательность для которой сходится соответствующая подпоследовательность скаляров ; пусть обозначает предел. Продолжая таким образом, после выполнения шагов мы получаем подпоследовательность последовательности , члены которой имеют вид

со скалярами , удовлетворяющими при Следовательно , поскольку , то

где , так что не все может быть равно нулю. Поскольку это линейно независимое множество, мы, таким образом, имеем . С другой стороны , подразумевает непрерывность нормы. Поскольку по предположению и является подпоследовательностью мы должны иметь .

Следовательно , так что по (N2) в п. 2.2. Это противоречит , и лемма доказана.

В качестве первого применения этой леммы давайте докажем основное