1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

Определение 1.3.4 (Эквивалентные нормы). Говорят, что норма на векторном пространстве эквивалентна норме на , если существуют положительные числа и такие, что для всех мы имеем


(1.3.3)

Эта концепция мотивирована следующим фактом.

Эквивалентные нормы on определяют одну и ту же топологию для .

Действительно, это следует из (1.3.3) и того факта, что каждое непустое открытое множество является объединением открытых шаров. Мы оставляем детали формального доказательства читателю, который также может показать, что последовательности Коши в и одинаковы.

Используя лемму 1.3.1, теперь мы можем доказать следующую теорему (которая не выполняется для бесконечномерных пространств).

Теорема 1.3.4 (Эквивалентные нормы). В конечномерном векторном пространстве любая норма эквивалентна любой другой норме .
Доказательство. Пусть и любой базис для . Тогда каждый из них имеет единственное представление

По лемме 1.3.1 существует положительная константа , такая , что

С другой стороны , неравенство треугольника дает

Вместе, где . именно. Другое неравенство в (1.3.3) теперь получается путем обмена ролями и в предыдущем рассуждении.

Эта теорема имеет значительное практическое значение. Например, это подразумевает, что сходимость или расходимость последовательности в конечномерном векторном пространстве не зависит от конкретного выбора нормы в этом пространстве.