1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

6. Пространство s. Может ли каждая метрика в векторном пространстве быть получена из нормы? Ответ – нет. Контрпримером является пространство , которое на самом деле является векторным пространством, но его метрика определяется

не может быть получено из нормы. Это можно сразу увидеть из следующей леммы, которая устанавливает два основных свойства метрики , полученной из нормы. Первое свойство, выраженное в (1.1.6a), называется трансляционной инвариантностью .


Лемма (трансляционная инвариантность). Метрика , индуцируемая нормой на нормированном пространстве , удовлетворяет

для всех и каждого скаляра .


Доказательство. У нас есть



и



1.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

По определению, подпространство нормированного пространства – это подпространство , рассматриваемое как векторное пространство, с нормой, полученной путем ограничения нормы на к подмножеству . Говорят, что эта норма на индуциировано нормой на . Если замкнуто в , то называется замкнутым подпространством .

По определению, подпространство банахова пространства – это подпространство , рассматриваемое как нормированное пространство. Следовательно, мы не требуем, чтобы было полным.

Теорема 1.2.1. (Подпространство банахова пространства). Подпространство Y банахова пространства является полным тогда и только тогда , когда множество замкнуто .


Сходимость последовательностей и связанных с ними понятий в нормированных пространствах легко вытекает из соответствующих определений для метрических пространств и того факта, что теперь :

(i) Последовательность в нормированном пространстве является сходящейся, если содержит такое, что

Мы пишем и называем пределом .

(ii) Последовательность в нормированном пространстве является последовательностью Коши, если для каждого существует такое, что

(1.2.1)
Последовательности были доступны нам даже в общем метрическом пространстве. В нормированном пространстве мы можем сделать важный шаг дальше и использовать ряды следующим образом.

Бесконечные ряды теперь можно определить способом, аналогичным тому, что используется в математическом анализе. На самом деле, если это последовательность в нормированном пространстве , мы можем связать ее с последовательностью частичных сумм

где . Если сходится, скажем,

затем бесконечный ряд или, вкратце, ряд

(1.2.2)

называется сходящимся или сходящимся, называется суммой ряда, и мы записываем

Если сходится, то ряд (1.2.2) называется абсолютно сходящимся. Однако мы предупреждаем читателя, что в нормированном пространстве абсолютная сходимость подразумевает сходимость тогда и только тогда , когда она полная.

Концепция сходимости ряда может быть использована для определения "базиса" следующим образом. Если нормированное пространство содержит последовательность со свойством, что для каждого существует уникальная последовательность скаляров , такая, что

тогда называется базисом Шаудера (или базисом) для . Ряд

который имеет сумму , тогда называется разложением по отношению к , и мы пишем