1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

Definition 1.3.4 (Equivalent norms). A norm on a vector space is said to be equivalent to a norm on if there are positive numbers and such that for all we have
(1.3.3)

This concept is motivated by the following fact.

Equivalent norms on define the same topology for .

Indeed, this follows from (1.3.3) and the fact that every nonempty open set is a union of open balls. We leave the details of a formal proof to the reader, who may also show that the Cauchy sequences in and are the same.

Using Lemma 1.3.1, we can now prove the following theorem (which does not hold for infinite dimensional spaces).

Theorem 1.3.4 (Equivalent norms). On a finite dimensional vector space , any norm is equivalent to any other norm .
Proof. Let and any basis for . Then every has a unique representation

By Lemma 1.3.1there is a positive constant such that

On the other hand the triangle inequality gives

Together, where . The other inequality in (1.3.3) is now obtained by an interchange of the roles of and in the preceding argument. ∎

This theorem is of considerable practical importance. For instance, it implies that convergence or divergence of a sequence in a finite dimensional vector space does not depend on the particular choice of a norm on that space.

1-ЛЕКЦИЯ. НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО. БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО
План урока:

1. 
   Понятие нормированных и банаховых пространств.
   
2. 
   Дополнительные свойства нормированных пространств.
   
3. 
   Конечномерные нормированные пространства и подпространства.
   

Примеры в последнем разделе иллюстрируют, что во многих случаях векторное пространство может в то же время быть метрическим пространством, поскольку метрика определена на . Однако, если нет никакой связи между алгебраической структурой и метрикой, мы не можем ожидать полезной и применимой теории, сочетающей алгебраические и метрические концепции.

Чтобы гарантировать такое соотношение между "алгебраическими" и "геометрическими" свойствами , мы особым образом определяем метрику следующим образом. Сначала мы введем вспомогательное понятие, норму (определение ниже), которая использует алгебраические операции векторного пространства. Затем мы используем норму, чтобы получить метрику желаемого вида. Эта идея приводит к концепции нормированного пространства. Оказывается, нормированные пространства достаточно особенные, чтобы обеспечить основу для богатой и интересной теории, но достаточно общие, чтобы включать в себя множество конкретных моделей, имеющих практическое значение. Фактически, большое количество метрических пространств в анализе можно рассматривать как нормированные пространства, так что нормированное пространство, вероятно, является наиболее важным видом пространства в функциональном анализе, по крайней мере, с точки зрения современных приложений. Вот определения:

Определение 1.1.1 (Нормированное пространство, банахово пространство). Нормированное пространство – это векторное пространство с определенной на нем нормой. Банахово пространство также называется нормированным векторным пространством или нормированным линейным пространством.

Здесь норма на (вещественном или комплексном) векторном пространстве представляет собой вещественнозначную функцию , значение которой в обозначается

и который обладает свойствами

здесь и являются произвольными векторами в и является любым скаляром.

Норма на определяет метрику , по которой задается

(1.1.1)

и называется метрикой, индуцированной нормой. Только что определенное нормированное пространство обозначается или просто через .

Определяющие свойства (от N1) до (N4) нормы предлагаются и мотивируются длиной вектора в элементарной векторной алгебре, так что в этом случае мы можем записать . Фактически, (N1) и (N2) утверждают, что все векторы имеют положительную длину, кроме нулевого вектора, который имеет нулевую длину. (N3) означает, что когда вектор умножается на скаляр, его длина умножается на абсолютное значение скаляра. (N4) показано на рис. 1.1.1. Это означает, что длина одной стороны треугольника не может превышать сумму длин двух других сторон.

Нетрудно сделать вывод от (N1) до (N4), что (1.1.1) действительно определяет метрику. Следовательно, нормированные пространства и банаховы пространства являются метрическими пространствами.

Рис. 1.1.1. Иллюстрация неравенства треугольника (N4)

Банаховы пространства важны, потому что они обладают определенными свойствами, которые не разделяются неполными нормированными пространствами.

Для последующего использования мы замечаем, что (N4) подразумевает

(1.1.2)

Норма является непрерывной, то есть представляет собой непрерывное отображение в .