1-lecture. Normed space. Banach space lesson Plan

ПРИМЕРЫ
1. Евклидово пространство и унитарное пространство . Это банаховы пространства с нормой, определяемой
(1.1.3)

Фактически, и являются полными и (1.1.3) дают метрику (7) в 4-й лекции:

Мы отметим, в частности, что в у нас есть

Это подтверждает наше предыдущее замечание о том, что норма обобщает элементарное понятие длины вектора.

2. Пространство . Это банахово пространство с нормой , заданной

Фактически, эта норма индуцирует метрику в 4-й лекции (раздел 4.3):

явяляется полным пространством.


3. Пространство . Это пространство является банаховым пространством, поскольку его метрика получается из нормы , определенной

и это полное пространство.

4. Пространство Это банахово пространство с нормой , заданной

где .


5. Неполное нормированное пространство и его завершение . Векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на образует нормированное пространство с нормой, определяемой
(1.1.4)

Это пространство не является полным. Пространство можно заполнить. Дополнение обозначается символом. Это банахово пространство. Фактически, норма на и операции с векторным пространством могут быть расширены до дополнения .

В более общем смысле, для любого фиксированного действительного числа

банахово пространство

является дополнением нормированного пространства, которое состоит из всех непрерывных вещественнозначных функций на , как и прежде, и нормы, определяемой
(1.1.5)

Предполагается, что нижний индекс напоминает нам, что эта норма зависит от выбора , который остается фиксированным. Обратите внимание, что для этого равно (1.1.4).