1-ma’ruza mashg’uloti mavzu: kristall panjarasi

1-MA’RUZA MASHG’ULOTI
MAVZU: KRISTALL PANJARASIDAGI TEBRANISHLAR
Reja
1. Chiziqli sodda kristall panjara atomlarining tebranishlari.
2. Chiziqli murakkab kristall panjara atomlarining tebranishlari.
3. Uch o’lchovli murakkab kristall panjara atomlarining tebranishlari.
Tayanch so’z va iboralar: Elektron, spin, spin operatori, Pauli matritsalari, Shtern-Gerlax tajribasi.
Kvant mexanikasi o‘zining aniq va soddaligiga qaramay bir necha kamchiliklardan holi emas. Shu kamchiliklardan ikkitasini ko‘rib chiqaylik. Asosiy holatdagi vodorod atomi birga teng bo‘lgan n bosh kvant soniga egadir va n=1 bo’lganida l orbital kvant soni va radial kvant soni n_r nolga teng bo‘lishlari kerak, chunki l va n_r lar noldan kichik qiymatga teng bo’lishlari mumkin emas. Shunday qilib, vodorod atomining asosiy holati S-holat bo‘ladi. Ushbu holatdagi vodorod atomlarining dastasini bir jinsli bo‘lmagan magnit maydoni orqali o‘tkazilganda tajribada dasta ikki simmetrik komponentaga ajraladi. Lekin l=0 bo‘lganida orbital moment bo’yicha atomlar dastasi komponentalarga ajralmasligi kerak edi. Agar dastada uyg’otilgan holatdagi, masalan l=1 bo‘lgan atomlar ham mavjud bo’lsa, dasta
qiymatlar soniga mos ravishda uchta komponentalarga ajralishi kerak edi.
Mashhur fiziklar O. Shtem va V.Gerlax tomonidan 1921-yilda o‘tkazilgan tajribasi ko’rsatdiki, asosiy holatdagi kumush atomlarining dastasi bitta dastaga ham uchta komponentaga ham ajralmasdan, faqat ikkita komponentaga ajralar ekan. Bu tajriba kvant mexanikasining rivojlanishiga katta hissa qo‘shib, fazoviy kvantlanish mavjudligini va elektronlar hamda atomlar magnit momentlarining qiymatlari diskret xarakterga egaligini tasdiqladi. Shunday qilib, atomning holati aslida uchta n, l, m_z kvant sonlari bilangina emas, balki dastaning ajralishini ifodalovchi yana bir kvant soni bilan ham aniqlanadi. Kvant nazariyasi bilan tajriba natijalari o‘rtasida mavjud bo‘lgan ikkinchi muhim tafovut Zeyemanning anomal effekti bilan bog’langandir.
Yuqorida bayon etilgan atom fizikadagi bir qator kamchiliklarni bartaraf qilish uchun 1925-yilda Ulenbek va Gaudsmit quyidagi g’oyani taklif etishdi. Ulaming fikriga binoan, elektron orbital harakat miqdori momentidan tashqari, xususiy harakat miqdori momentiga ham ega. Elektron har qanday chekli o’lchamlarga ega bo’lgan jism kabi uchta ilgarilanma harakat bilan bir qatorda uch yo’nalish bo’yicha aylanma harakat bilan bog’liq erkinlik darajasiga ham ega bo‘lishi mumkin. Kvant mexanikasining tuzilishida o’tkazilgan bir qator tajribalar natijasidan ma’lum bo‘ldiki. elektronning o‘ziga xos bo‘lgan ichki erkinlik darajasi mavjud. Ushbu ichki erkinlik darajasi elektronning orbital harakati bilan emas balki qandaydir xususiy mexanik harakat miqdori momenti bilan bog’langandir. Bu xususiy mexanik harakat miqdori momenti elektronning spini deb ataladi. Spin ingilizcha so‘z bo’lib, o‘z o‘qi atrofida aylanish degan ma’noni bildiradi. Spin bilan bog’langan elektronning ichki erkinlik darajasi faqat kvant xarakterga ega bo’lgan spesifik xususiyatdir, bu tushuncha hech qanday klassik analoglarga ega emas va uni klassik nazariya tomonidan hcch qanaqasiga talqin qilish imkoniyati mavjud emas.
Shtern va Gerlax tajribasida kuzatilgan dastaning ikki karrali ajralishi elektronning magnit momentining mumkin bo‘lgan ikkita oriyentatsiyasi to‘g’risida gapirish imkonini beradi. Dastaning ajralish kattaligi bo‘yicha spin magnit momentining qiymatini aniqlash mumkin. Spin zarrachaning harakat miqdori bilan bog'langanligi sababli, u ham har qanday harakat miqdori momenti kabi kvantlanishi kerak. Shuning uchun, agar birligida mexanik spin momentining qiymati S ga teng
bo‘lsa, fazoviy kvantlanish qoidasiga binoan u uchun z -o‘qiga nisbatan 2s+l ta yo’nalish mavjud bo‘ladi, ya’ni aytilganlardan

kelib chiqadi. Tanlangan z yo‘nalishi bo‘yicha spinning (2s+1) ta proyeksiyalari qiymatlari bir-biridan bir birlikka farq qilishi kerak ya’ni:

Bunda mexanik spin momenti proyeksiyasini aniqlovchi magnit kvant soni. Yuqorida qayd etilgan tajribalardan ma’lum bo’ldiki, spin faqat ikki yo‘nalishgagina ega bo‘lishi mumkin, ya’ni 2s+1=2, demak, s=1/2 ekanligi kelib chiqadi. U holda, Ulenbek va Gaudsmitning g’oyasiga asosan, elektron xususiy mexanik momentining tanlangan z- yo’nalishga proyeksiyasi doimiyning yarim butunlarida o’lchanadi va faqat ikkita qiymat qabul qiladi, ya’ni
(1)
Ushbu g’oyani ular, atom spektrlarini o‘rganish borasida olingan tajriba natijalaridan kelib chiqqan holda, elektronning xususiy mexanik momentining mavjudligi bilan bir qatorda elektronning xususiy magnit momenti ham mavjud degan xulosa bilan to‘ldirishadi. Elektron spin magnit momentini tashqi magnit maydon yo‘nalishiga proyeksiyasi ham faqat ikki qiymatni qabul qila oladi, ya’ni
(2)
uning absolyut miqdori butun Bor magnetoniga teng bo’lib chiqdi. Vodorod atomi dastasini bir jinsli bo‘lmagan magnit maydonda ikki komponentaga ajralishining sababi ana shu tarzda tushuntiriladi. (1) va (2) formulalardan ko‘rinib turibdiki, spin magnit moment va spin mexanik momentlari orasida quyidagicha bog’lanish mavjud:
(3)
orbital mexanik va orbital magnit momentlaming nisbati ga teng. Ushbu (3)
formula A. Eynshteyn va V. de-Gaaz tomonidan o‘tkazilgan tajribalar natijasida xususiy mexanik va xususiy magnit momentlaming nisbatini aniqlashda olingan edi.
O. Shtern va V.Gerlax tajribalaridan keyin fazoviy kvantlanishni kuzatish ustida bir qator tajribalar o’tkazildi va ulaming barchasida orbital mexanik moment ham, spin moment uchun ham fazoviy kvantlanish mavjudligi tasdiqlandi. Shunday qilib, spin tushunchasining kiritilishi atom spektr chiziqlarini o‘rganishda, Zeyeman effektlarini
tushuntirishda muvaffaqiyatli bo‘lib qolmasdan. balki makroskopik jismlarning xossalarini tushuntirishda ham katta rol o‘ynaydi.
Relyativistik kvant mexanikasi asoslarini o‘rganishga bag’ishlangan mavzularda elektron spinining mavjudligini va u bilan bog’liq bo‘lgan bir qator
xossalarni nazariy jihatdan keltirib chiqarish mumkin. Lekin elektronning spini to’g’risidagi bir qator tushunchalarni norelativistik kvanl mexanikasi nazariyasidan ham keltirib chiqarish va muhim natijalarga kelish mumkin. Avvalo Ulenbek va Gaudsmit g ’oyasining matematik ifodasiga o‘taylik. Kvant mexanikasining asosiy prinsiplariga binoan elektronning spinini chiziqli va o’zaro qo‘shma operator yordamida ifodalash kerak. Koordinata yo‘nalishiga bo’lgan spin operatorlarining proyeksiyalarini va orqali belgilaylik. Kiritilgan operatorlar proyeksiyalarining ko‘rinishini aniqlash uchun oldindan shunday talab qo‘yamizki, bu operatorlar orbital momentning proyeksiyalari bo‘ysinadigan o‘zaro o‘rin almashtirish qoidalarini qanoatlantirsin. U holda operatorni bilan almashtirilsa:
(4)
ifodalar hosil qilinadi. Endi S vektor o‘rniga vektorni kiritaylik va ular o‘zaro quyidagicha bog’langan bo’lsin.
(5)
ya’ni operatorlarni kiritib, ularni spin matritsalar deb nomlanadi. Olingan (5) ifodani (4) tenglamalarga qo’yib, ga qisqartirilsa, ning komponentalari uchun quyidagi munosabatlarni aniqlash mumkin:


(6)
Asosiy g’oyaga binoan tanlab olingan yo‘nalishga spin proyeksiyasi faqat ikkita qiymatni qabul qila oladi, ya’ni operatoming xususiy qiymatlari va ga teng bo’lishi kerak, u holda matritsaning xususiy qiymatlari esa +1 va -1 sonlariga teng bo’lishi kerak. Demak, matritsani diagonal elementlari +1 va -1 bo‘lgan ikki qatorli diagonal matritsa shaklida bo‘lishi kerak.
Shunday qilib, matritsaning uchta komponentalarini aniqlab oldik va ularning ko‘rinishi quyidagicha bo‘lar ekan:
(7)
Olingan (7) dagi matritsalar elektronning spinini hisobga olgan holda kvant mexanikasida fundamental rol o’ynaydi va Pauli matritsalari deb yuritiladi. Pauli matritsalari yordamida (5) formulaga asoslanib, va operatorlarning oshkor ravishdagi ko’rinishini topish mumkin, ya’ni
(8)
Ushbu spin matritsalarini hosil qilganimizda S_z matritsaning operatorini diagonal ko‘rinishda olganimizni doimo nazarda tutish kerak, ya’ni S_z -tasavvurda olingan matritsalar hosil qilindi. Keyinchalik shu narsaga e’tiborni qaratish kerakki, 1 belgi ga teng bo‘lgan birinchi xususiy qiymatga, 2 belgi esa ga teng bo‘lgan ikkinchisi xususiy qiymatga tegishlidir. Endi (8) dan foydalanib elektron spin operatorining kvadratini hisoblash mumkin, ya’ni
(9)
Demak, atomdagi elektronning holatini to‘la-to’kis ko‘rib chiqish uchun elektronning xususiy mexanik momentining mavjudligini hisobga olish kerak. Ikkinchidan, elektron spin operatorining proyeksiyasi faqat ikkita qiymalni qabul qiladi:
(10)
Olingan (10) tenglik elektron spin operatorini kvantlanish shartini ifodalaydi. Uchinchidan, elektron spin operatori kvadratining kvantlanish shartini yozish mumkin, ya’ni

Shunday qilib, ikkita m_s va s kvant sonlari kiritdik, birinchisi tanlangan oz yo‘nalishga spin proyeksiyasining qiymatini aniqlab bersa, ikkinchisi spin operatori kvadratining xususiy qiymatini aniqlaydi.
Nazorat savollari
1. Spin nima ?
2. Shtern-Gerlax tajribasining mohiyati.
3. Elektronning spin operatori haqida tushuncha bering.
4. Pauli matritsalarini izohlang.