1-Маъруза Мавзу: Ҳақиқий сонлар тўплами ва унинг хоссалари. Иррационал сон тушунчаси. Ҳақиқий соннинг модули ва унинг хоссалари

Таъриф: каср кўринишида тасвирлаб бўлмайдиган сонлар иррационал сонлар дейилади. (п, қ)  Н
Бу ерда ўқувчиларга яна шу нарсани тушунтириш керакки, ҳар қандай рационал сонни чексиз даврий ўнли каср кўринишда ифодалаш мумкин, иррационал сонни чексиз даврий ўнли каср кўринишида ифодалаб бўлмайди, бунга қуйидаги мисолларни кўрсатиш мумкин.
1. бу ердаги иррационал сон чексиз даврий бўлмаган ўнли каср кўринишида ифодаланаяпти.
2. - бу ердаги иррационал сон таърифини яна қуйидагича бериш мумкин.
Таъриф. Чексиз даврий ўнли каср кўринишида ифодалаб бўлмайдиган сонларни иррационал сонлар деб аталади.
Теорема: квадрати 2 га тенг бўлган рационал сон мавжуд эмас.
Бу теореманинг исботини тескарисидан фараз қилиш йўли билан исботлаймиз, чунки 1²<2<2² бутун сонлар тўпламида у квадрати 2 га тенг бўлган сон мавжуд эмас.
Исботи. Фараз қилайлик, кўринишидаги қисқармас каср мавжуд бўлсин, р ва қ – натурал сонлар. Фараз қилайлик, квадрати 2 га тенг бўлган рационал сон мавжуд бўлсин, яъни: , бу ерда п²=2қ², бу ерда р нинг ҳам иккига бўлиниши келиб чиқади. Агар р=2н бўлса, 4н=2қ² 2н=қ² бўлади, бундан қ нинг ҳам жуфт сон эканлиги келиб чиқади. Фаразимизга кўра касрни қисқармас каср деган эдик, исботнинг натижасида эса каср қисқарувчи каср бўлиб чиқяпти, бундай қарама - қаршилик фаразимизнинг нотўғри эканлигини тасдиқлаб, теорема тўғри эканлигини кўрсатади.
Юқоридаги таъриф ва исбот қилинган теоремалардан кўринадики квадрати 2, 3, 5, 7, 10, 11 ларга тенг бўладиган рационал сон мавжуд эмас экан, биз таърифга кўра буларни иррационал сонлар деб атадик. Бундай иррационал сонларни - каби белгилаш қабул қилинган. Уларга қарама - қарши бўлган сонлар ҳам иррационал сонлар бўлиб, улар - каби белгиланади. Ўқитувчи бу ерда ўқувчиларга шуни эслатиши керакки, иррационал сонларга квадрати берилган мусбат сонга тенг бўлган сонни топиш масаласигина олиб келмайди. Масалан, айлана узунлигининг диаметрига нисбатини ифодаловчи  сонини оддий каср кўринишида тасвирлаш мумкин эмас, у ҳам иррационал сондир.