1-Ma’ruza. Mavzu: kompleks sonlar reja: Kompleks son tushunchasi. Kompleks sonning Koʻrinishlari

Misol.
1.
Kompleks sonning moduli hamda argumentini toping. Bunda boʻladi. (3) va (4) ga koʻra

, ya’ni boʻladi.

2. 
   Ushbu
   

kompleks sonni triganametrik koʻrinishda ifodalang.
Bunda boʻlib


U holda (2) formulaga koʻra berilgan kompleks son quyidagi

Triganametrik koʻrinishga ega boʻladi.

3⁰. Koʻrsatkichli koʻrinishi.

Faraz qilaylik, sonning moduli argumenti esa boʻlsin. Unda bu kompleks son

trigonametrik koʻrinishga ega boʻladi. Kompleks analiz kursida muhim boʻlgan ko‘yidagi
(4)
Eyler formulasidan ( Bu formulani keyingi ma’ruzada isbotlaymiz) Foydalansak, z kompleks sonning ushbu

ifodasiga kelamiz. Bu kompleks sonning koʻrsatkichli ifodasi deyiladi.
, boʻlsa, u holda


(6) va (7) munosabatlardan ko‘yidagi munosabatlar kelib chiqadi:
1⁰.

2⁰.



3. Kompleks sonni darajaga koʻrtarish va undan ildiz chiqarish.
Aytaylik kompleks sonlar berilgan boʻlsin. Ikkita kompleks sonlar ko‘paytmasi singari bu n ta kompleks sonlar ko‘paytmasi.
(1)
boʻladi. Bunda Hususan boʻlsa, (1) tenglik ushbu
(2)
koʻrinishga ega boʻlib, bu z kompleks sonning n-darajasi deyiladi.
Ravshanki,

Demak,
(3)
Odatda (3) formulasi Muavr formulasi deyiladi. Aytaylik, kompleks son va tayinlangan sonlar berilgan boʻlsin. Ushbu
(4)
tenglikni qanoatlantiruvchi kompleks son kompleks sondan olingan n-darajali ildiz deyiladi va u kabi belgilanadi:

Berilgan kompleks son ko‘yidagi
(5)
trigonametrik koʻrinishda busin. kompleks sonni ushbu
(6)
koʻrinishda izlaymiz.
Unda (4), (5), va (6) munosabatlarga koʻra

boʻladi.
Endi.

Formulani etiborga olib, quyidagi

tenglikka kelamiz. Unda
(7)

boʻlishi kelib chiqadi.
Bu tengliklarni kvadratga koʻrtarib, soʻng ularni hadlab qo‘shib topamiz:

Topilgan ning qiymatini (7) tengliklardagi ning oʻrniga qo‘ysak, Ushbu


tenglamalar hosil boʻladi.
Agar ma’lum boʻlgan.


tengliklarni etborga olsak, unda

ya’ni

boʻlishini topamiz.
Demak izlanayotgan kompleks sonning moduli

argumenti esa

bular ekan. Demak,
(8)
boʻladi.