1-ma’ruza: Tasodifiy vektorlar. Tasodifiy vekor komponentalarining taqsimotlari. Korrelyatsiya koeffitsienti va uning хossalari

Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari

• 
  Ikki o‘lchovlik t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi : 1. uzluksiz bo‘lsa;
  

2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi;
3. ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa.

• 
  Ikki o‘lchovlik (X,Y) t.m.ning zichlik funksiyasi
  

(1)
tenglik orqali aniqlanadi.
(X,Y) t.m.ning G sohaga(3-rasm) tushishi ehtimolligi (4) formulaga ko‘ra:
,



.
da limitga o‘tamiz,
,
ya’ni .


3-rasm.

Demak, (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb,

(2)
tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan.
zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. .
2. . (3)
3. . (4)
4. .
5. X va Y t.m.larning bir o‘lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi tengliklar yordamida topish mumkin:
; . (5)
Isboti. 1. Bu xossa funksiyaning har qaysi argumenti bo‘yicha kamaymaydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi.
2. ifoda (X,Y) tasodifiy nuqtaning tomonlari dx va dy bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakka tushish ehtimolligini bildiragi. D sohani to‘g‘ri to‘rtburchaklarga ajratamiz(4-rasm) va har biri uchun (2) formulani qo‘llaymiz:

bo‘ladi. Endi da limitga o‘tib, ni hosil qilamiz.
4-rasm.

3. (3) formuladan:

4. va (4) formulada deb olsak(limit ma’nosida),

5. Avval X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini topamiz:

(5)

Birinchi tenglikni x bo‘yicha, ikkinchisini y bo‘yicha differensiyallasak, X av Y t.m.larnin zichlik funksiyalarini hosil qilamiz:

va

Izoh. Agar X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari berilgan bo‘lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish mumkin emas.
3-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan

Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) ; 3) va ;
4) va ; 5) .
1) tenglikdan

2) , , ya’ni

3) , , demak

Aynan shunday,

4)

va shu kabi

5)