1-ma’ruza: Tasodifiy vektorlar. Tasodifiy vekor komponentalarining taqsimotlari. Korrelyatsiya koeffitsienti va uning хossalari

Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi

• 
  X va Y t.m.lar bog‘liqsiz deiladi, agar uchun va hodisalar bog‘liqsiz bo‘lsa.
  

Endi t.m.lar bog‘liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.
Teorema. X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun
(1)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, va hodisalar ham bog‘liqsiz bo‘ladi. U holda , ya’ni .
Yetarliligi. (1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bu tenglikdan X va Y t.m.lar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■
1-natija. X va Y uzluksiz t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun
(2)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda (1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni x bo‘yicha, keyin esa y bo‘yicha differensiyallab, tengliklarni, ya’ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. (2) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni x bo‘yicha va y bo‘yicha integrallaymiz:
.
Bu esa tenglikning o‘zidir. Teoremaga ko‘ra X va Y t.m.lar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■
2-natija. X va Y diskret t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun ihtiyoriy larda

(3)
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
4-misol. a) 1-misoldagi X va Y t.m.lar bog‘liqmi? b) 3-misoldagi X va Y t.m.lar bog‘liqsizmi?
a) , , ya’ni
. Demak, X va Y t.m.lar bog‘liq.
b) tenglik o‘rinli, demak, X va Y t.m.lar bog‘liqsiz.

Shartli taqsimot qonunlari

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

• 
  (X,Y) ikki o‘lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni , bo‘lsin. U holda
  

, (1)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar Y t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda
.
Xuddi shunday,
, (2)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar X t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.
5-misol. (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:

X \ Y	1	2	3
0.1	0.12	0.08	0.40
0.2	0.16	0.10	0.14

Quyidagilarni toping: a) X av Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.
a) va tengliklardan:

Y	1	2	3
P	0.28	0.10	0.54

X	0.1	0.2
P	0.60	0.40

,
b) (2) formulaga asosan: ,
. X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

X	0.1	0.2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli t.m. uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

• 
  Y t.m.ning X=x bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi
  

(3)
ifodaga orqali aniqlanadi.
Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.

• 
  Xuddi shunday, X t.m.ning Y=y bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi
  

(4)
tenglik orqali aniqlanadi.
(3) va (4) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
. (5)
(5) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.