1-ma’ruza: Tasodifiy vektorlar. Tasodifiy vekor komponentalarining taqsimotlari. Korrelyatsiya koeffitsienti va uning хossalari

6-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli uzluksiz t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi berilgan:


5-rasm.
bu yerda (5-rasm). 1) larni toping. 2) X va Y t.m.larning bog‘liqligini ko‘rsating.
1) Avval o‘zgarmas son C ni topamiz:

.
Bundan . ni topamiz:
, .
ni (4) formulasidan foydalanamiz, buning uchun dastlab ni hisoblash kerak:
, ,

2) X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, tenglik o‘rinli. , va funksiyalarlar bir-biridan farqli bo‘lganligi uchun X va Y t.m.lar bog‘liq.

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

• 
  Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) t.m.ning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda
  

(1)
va .

Agar (X,Y) t.m. uzluksiz bo‘lsa, u holda

. (2)

• 
  X va Y t.m.larning kovariatsiyasi
  

(3)
tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) t.m. diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi
, (4)
agar uzluksiz bo‘lsa,
(5)
formulalar orqali hisoblanadi.
Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:
. (6)
Bu tenglik (3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va Y t.m.larning dispersiyalarini aniqlash mumkin:
,
.
(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.
Kovariatsiyaning xossalari:
1. ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar X va Y ixtiyoriy t.m.lar bo‘lsa, u holda ;
4. yoki ;
5. yoki
;
6. .
Isboti. 1. (3) dan kelib chiqadi.
2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .
3.
.
4. .
5.

6. 3-xossani va t.m.larga qo‘llasak,




.

Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .■

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y t.m.lar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y t.m.lar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y t.m.larning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y t.m.larning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

• 
  X va Y t.m.larning korrelatsiya koeffitsienti
  

(7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz t.m.lar uchun , chiziqli bog‘langan t.m.lar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, t.m.lar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.