1-ma’ruza: tebranma harakatlar

r dy

m dt
 ₀
^{y  0} , (2)

2
Bu ifoda erkin so‘nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasi deb ataladi.

Bu yerda

^r  2 , _
m

- so‘nish koeffitsienti deb ataladi.

(2) tenglamani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:

d ² y


dt ²
 2 ^dy  
dt
2 ^{y  0} , (3)

0
Bu tenglamaning yechimi

0
y  A e^t sin^t
  

, (4)

dan iboratdir. Bu yerda, ^{ }
^ 

so‘nuvchi tebranishning chastotasidir

^ , (5)

Muhitning qarshiligi bo‘lmagan holatda (r = 0) (5) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga
tenglashadi:

0
^   _.

4. 
   - funksiya ko‘rinishiga qarab, tizimning harakatini ^
   

o‘zgaradigan quyidagi
chastotali, amplitudasi vaqt bo‘yicha

0
At 
_{A e}t

so‘nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu yerda tebranish amplitudasidir.
^A₀ - vaqtning boshlang‘ich holatidagi

10. 
    - rasm. Erkin so‘nuvchi tebranishning amplitudasining vaqtga bog‘liq o‘zgarishi.
    

18 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog‘liq egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziqlarning yuqorigisi

At  
_{A e} t

0
funksiya grafigini belgilaydi. Bu yerda siljishning qiymatlaridir.
^A₀ va y₀ boshlang‘ich momentdagi amplituda va

Boshlang‘ich siljish y₀ o‘z vaqtida, A₀ dan tashqari, boshlang‘ich fazaga ham bog‘liqdir:

0
y₀  A sin

ataladi.

Tebranishning so‘nish tezligi

  ^r
2m

bilan aniqlanadi va u so‘nish koeffitsienti deb

Amplituda “e” marta kamayishga ketgan vaqt

_e t
 e^1 ,
_{ } 1 _ 2m

 r
ga tengdir. So‘nuvchi tebranishlar davri

_{T } 2
^

, (6)

ifoda bilan aniqlanadi. Muhitning qarshiligi sezilarli ravishda kichik bo‘lganda tebranish davri xususiy davrga teng bo‘ladi:

 ^{2
 02 },

2
T₀  _
0
So‘nish koeffitsienti ortishi bilan tebranish davri orta boradi.
Bitta to‘la davrning boshlang‘ich va oxirgi holatlariga mos keluvchi amplitudalar nisbati quyidagiga tengdir:

At 
_{ e}

At  T 
, (7)

va u so‘nish dekrementi deb ataladi. Bu ifodaning logarifmi so‘nishning logarifmik dekrementi
deb ataladi:

  ln ^At  ln e^  
At  T 

, (8)

So‘nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini xarakterlaydi, so‘nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko‘rsatadi.
Yuqorida ta’kidlangandek, so‘nish koeffitsienti r qarshilik koeffitsientiga to‘g‘ri va tebranuvchi jismning massasiga teskari proportsionaldir.

19 - rasm. Davriy bo‘lmagan aperiodik tebranish
  _{0 .}

4. 
   - ifodadan siklik chastota ^
   

xususiy chastota - ^₀

dan kichikligi ko‘rinib turibdi. Agarda

muhitning qarshiligi juda katta bo‘lsa
  ₀
dir, ildiz ostidagi
_02
  ²
ifoda manfiy,

tsiklik chastota esa mavhum bo‘ladi. Bu holatda jism davriy bo‘lmagan - aperiodik harakat qilaboshlaydi (19 - rasm).
Majburiy mexanik tebranishlar
Doimo ta’sir qiluvchi, davriy tashqi kuch ta’sirida tizimning tebranishi majburiy tebranishlar deb ataladi. Ta’sir etuvchi kuch majbur etuvchi kuch deb ataladi.
Oddiy holatlarda bu kuch garmonik qonuniyatlarga asosan o‘zgaradi:
F  F₀ sin t

bu yerda F₀ – majbur etuvchi kuchning amplitudasi, ^

• 
  shu kuch o‘zgarishining tsiklik
  

chastotasi. Odatda, tebranayotgan tizimga majbur etuvchi kuchdan tashqari, qaytaruvchi kuch

2
F_q  ky  m₀ y

va muhitning qarshilik kuchi

^Fqarshilik
 r  r ^dy
dt

ta’sir etadi. Bu

kuchlarning ta’siri natijasida m massali tizim Nyutonning II qonuniga asosan a - tezlanish oladi.


Mayatnik oddiy garmonik tebranishlarni namoyish qilyapti.

0
ma  ky  r  F sin t

, (1)

Bu ifodaning ikki tarafini m massaga bo‘lsak, m tebranayotgan jismning tezlanishi ifodasiga ega bo‘lamiz:

a   ^k y 

m

^r  

m

^F0 sin t m

Quyidagi almashtirishlardan so‘ng


d ² y
a ;
dt ²
  ^dy ;
dt
^k   2 ;
_m 0
^r  2 ;
m
^F0  f _m 0

0
majburiy tebranishlarning tenglamasiga ega bo‘lamiz:

d ² y


dt ²
 2 ^dy  
dt
2 y 
f₀ sin t _{, (2)}

Bu savolga javob bera olasizmi?

Bu ifoda ikkinchi tartibli, chiziqli, bir jinsli bo‘lmagan differentsial tenglamadir. Tenglamaning yechimi ikki funksiyaning yig‘indisidan iboratdir:

y  A_0
et

^sin


^^{t }

Asin(t  )

, (3)

Shunday qilib, majburiy tebranish


^ 

^{tsiklik chastotali so‘nuvchi tebranish va}  ^{chastotali garmonik tebranishlar yig‘indisidan} iboratdir.
Avval, ^   holatda tepkilar hosil bo‘ladi, undan keyin birinchi tebranish so‘nadi
va toza majburiy garmonik tebranish
y  Asint  _{, (4)}
qoladi (20 - rasm).

0
Bu yechimni (2)-ifodaga qo‘yib, ayrim o‘zgartirishlardan so‘ng quyidagiga ega bo‘lamiz:

0
A²  2
  ²  4 ² A² ² 
^f 2 , (5)

20 - rasm. Toza majburiy garmonik tebranishning hosil bo‘lishi.

Bu ifodadan majburiy tebranishlar amplitudasi va boshlang‘ich fazaning tangensi qiymatlarini topishimiz mumkin
^{A } , (6)




tg   ^2 _{, (7)}

0

0
2   ²

0
Tebranishning amplitudasi va fazasi tizimning ^
va ^
parametrlariga bog‘liqdir. ^

va ^
ning aniq qiymatlarida 
chastotani o‘zgartirib, amplitudaning maksimal qiymatiga

erishish mumkin.
   _рез

bo‘lganda majburiy tebranishlar amplitudasining birdaniga ortishi hodisasi -

rezonans hodisasi deb ataladi.
Rezonans hodisasi sodir bo‘ladigan chastota rezonans chastotasi deb ataladi va uni (6) - ifodaning maxraji minimumga erishishi sharti orqali aniqlanadi

2
4₀

  ²    8 ²  0

0
 2
 0
  ²  2 ²  0

^rez ^
, (8)

21 - rasmda majburiy tebranishlar amplitudasi tashqi kuchning chastotasiga bog‘liq egri chiziqlari

• 
  rezonans chiziqlari keltirilgan.
  

21 - rasm. Majburiy tebranishlar amplitudalarining rezonans chiziqlari.
Rezonans chastotasi ^ -so‘nish koeffitsientiga bog‘liq va ^{  0} bo‘lganda,

^ рез
 ₀ ,
A  
ga intiladi. ^
qancha kichik bo‘lsa, egri chiziq shuncha yuqoriga

ko‘tariladi va o‘tkir xarakterga ega bo‘ladi. Natijada, rezonans chastotasi tizimning ^₀
chastotasiga yaqinlashadi.

avtotebranishlarning chastotasi va amplitudasi shu tebranuvchi sistemaning o‘z xususiyatlariga bog‘liq bo‘ladi.

xususiy