1. Materiallar qarshiligi fanining vazifalari va usullari

^{3.2.KESIMNING INERSIYA MOMENTI.}

Statik momentlardan tashqari, quyidagi uchta integrallarni ko'rib chiqamiz:

=

= (3.5)

Ixtiyoriy olingan koordinatalar sistemasida elementar yuzachaning koordinatalarini ham bilan belgilaymiz (3.1rasmga qarang).

Formuladagi birinchi ikkita integral o’qlarga nisbatan kesimning o’qiy inersiya momenti deyiladi. Formuladagi 3- integral o’qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti deyiladi.Inersiya momentlari ulchov birligi yoki . elementar yuza musbat bo’lsa o’qiy inersiya momentlari har doim musbat bo’ladi. Markazdan qochma inersiya momenti musbat ham manfiy ham bo’lishi mumkin kesimning o’qlarga nisbatan joylashishiga bog’liq holda.

Tekis kesim o’qlari parallel ko’chirilganda inersiya momentlari formulalarini ko’rib chiqamiz. Buning uchun 3.2 rasmga etibor beramiz. va o’qlarga nisbatan inersiya momenti va statik momentlari berilgan bo’lsin. , o’qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash talab qilinadi:

= = =

= – va = – ekanligini hisobga olib

=² , = ²

ni hosil qilamiz . (3.1) va (3.5) belgilashga asosan, qovslarni ochib

= - + A; = - + A;

(3.6)

= - - +

Agar va markaziy o’q bo’lsa, u holda = = 0 bo’ladi va

= + A; = + A; = + (3.7)

. Markazdan qochma inersiya momentini aniqlashda qiymatlarining ishorasini hisobga olish kerak. O’qlari parallel ko’chirilganda qiymatini qanday o’zgarishini bilib olish mumkin (3.5rasm).

va 1va 3 chorakda joylashsa musbat , 2- va 4- chorakda joylashsa markazdan qochma inersiya momentini qiymati manfiy bo’ladi.

O’qlarga nisbatan oddiy kesimlarni inersiya momentlarini aniqlashni misollarda ko’rib chiqamiz.

Masala.

Asosi b va balandligi h bo’lgan to’rtburchakning inersiya momenti asosga parallel, markaziy o’qqa nisbatan va asosga nisbatan topilsin .

o’qqa nisbatan inersiya momenti

= = yoki =

(3.7) formuladan foydalanib, markaziy o’qqa nisbatan inersiya momentini topamiz

= – ( )² yoki =

Masala.

Katetlari bilan mos tushadigan o’qlarga nisbatan to’g’ri burchakli uchburchakning

markazdan qochma inersiya momentini aniqlang.(3.7rasm).

yuzachani ajratib olib , ning qiymatini o’zgarmas deb hisoblab , polosani markazdan qochma inersiya momentini topamiz:

= d d = bu yerda ,

Shuning uchun

= ²

Bu tenglamani bo’yicha 0 dan h gacha integrallab

= ², yoki =

markaziy koordinatalar sistemasiga o’tamiz. Buo’qqa utishda 2- va 4- choraklarda yuza kattalashadi , markazdan qochma inersiya momentini qiymati minusda chiqadi:

= -- yoki = -

o’qqa nisbatan , markazdan qochma inersiya momentini qiymati minusda chiqdi.

3.3.Bosh o’qlar va bosh inersiya momentlari

Kordinata o’qlarining burilishida inersiya momentlarining o’zgarishini ko’rib chiqamiz.o’qlarga nisbatan bir qancha kesimlarning inersiya momentlari berilgan bo’lsin. burchakka , sistemaga nisbatan burilgan, o’qlarga nisbatanva inersiya momentlarini aniqlash talab qilinadi (3.8rasm)

OABC siniq chiziqning proyeksiyasi( zamikayushie) berkituvchi tomon proyeksiyasiga teng ,

inersiya momenti tenglamalaridan ni chiqarib tashlaymiz:

= , = , =

U holda

= ²

= ²

=

Bu yerdan

=

=+ + (3.8)

=

+ = + =

Shunday qilib,

Ikkita o’zora perpendikulyar o’qlarga nisbatan o’qiy inersiya momentlarining yig’indisi burchakka bog’liq emas va burilishda o’qlar o’zgarmasdan qoladi.

+= ,

Bu yerda – koordinata boshidan elementar yuzagacha bo’lgan masofa (3.8rasmga qarang).

Shunday qilib,

+ = (3.9)

Bu yerda - qutbiy inersiya momenti:

=

Uning qiymati , tabiiyki , o’qlarning burilishiga bog’liq emas.

(3.9) formula yordamida , doira deametriga nisbatan o’qiy inersiya momentini aniqlash oson.

= , = = ni hosil qilamiz , bizga ma’lumki , =

Doira uchun

= = .

burilish burchaginin o;qini o’zgarishi bilan moment qiymatlari o’zgaradi., ammo ularning yig’indisi o’zgarishsiz qoladi . Shunday burilish burchagi borki , unda inersiya momentlaridan bittasi o’zining maksimal qiymatiga erishadi , usha vaqtning o’zida ikkinchi inersiya momenti o’zining minimal qiymatini qabul qiladi. 3.8 formulani ikkinchi tenglamasini burilish burchagi bo’yicha differinsiallab va hosilasini nolga tenglashtirib,

= (3.10)

Mana shu burilish burchagi qiymatida o’qiy momentlardan birining qiymati kata ikkinchisining qiymati kichik bo’ladi. Bir vaqtning o’zida markazdan qochma inersiya momentini qiymati nolga intiladi. Markazdan qochma inersiya momentini qiymati nolga teng , o’qlari bosh o’qlar deb ataladi , o’qiy momentlar ekstrimal qiymatni qabul qiladi.Agar ular markaziy hisoblansa ,u holda ular bosh markaziy o’qlar deb ataladi. Bosh o’qlarga nisbatan o’qiy inersiya momentlari bosh inersiya momentlari deyiladi.Ularni aniqlash ucgun (3.8) formulani qo’yidagi ko’rinishda yozib olamiz

= -

+

va

(3.10) formula yordamida burchakni chiqarib tashlab

= (3.11)

Ustki belgi inersiya momentining mksimal qiymatiga pastki belgi esa minimal qiymati ga mos keladi.

Agar kesimning simmetriya o’qi bo’lsa u asosiy o’q hisoblanadi( 3.9rasm)

Kesimning markazdan qochma inersiya momenti, o’qdan bir tomon bo’yicha joylashsa kesimning momenti ,o’qning boshqa tomonida joylashadi,ammo unga ishorasi qarama-qarshi bo’ladi. = 0 bo’lsa o’qlar bosh o’qlar hisoblanadi.

Endi bosh o’qlar va bosh inersiya momentlarini aniqlash bo’yicha masalalarni ko’rib chiqamiz.

Masala.

Rasmda ko’rsatilgan to’g’riburchakli uchburchak uchun , bosh moment va bosh markaziy o’qlar holatlari aniqlansin.

Markaziy o’qlar uchun qo’yidagilarga egamiz

= , = , = - .

(3.10) formulaga asosan

Agar bo’lsa bo’ladi, bosh o’q to’griburchakli uchburchak simmetriya o’qi bilan mos tushadi. (3.11) formuladan

= )

Rasmda ko’rsatilgan tarkibiy kesim uchun bosh momentlar va bosh markaziy o’qlar holati aniqlansin.

Bu kesim yuzaning og’irlik markazi C ni yuqorida yechilgan masalada aniqlagan edik. Har bir tashkil etuvchi kesim uchun alohida, ixtiyoriy olingan va koortinatalar sistemasiga nisbatan inersiya momentlarini topamiz.

Uchburchak uchun

= = =

= = =

= - = - = -

To’rtburchak uchun

= ==

= = =

To’rtburchakning markazdan qochma inersiya momentini o’qlarni ko’chirish yo’li bilan aniqlaymiz.

= yoki

= =

Yarim doira uchun yana o’qlarni ko’chirish usulidan foydalanamiz.Avval . , markaziy o’qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz:

= = = =

= ^- = =

= 0

o’qlarga utishda

=

=²

=

Tashkil etuvchi figura uchun topilgan inersiya momenti qiymatlarini yig’ib , butun kesim yuza uchun , o’qlarga nisbatan inersiya momentini topamiz:

= = =

Avvaldan topilgan C og’irlik markazi koordinatalaridan foydalanib, o’qlarga utamiz:

=

=

=

(3.10) formulaga asosan

=

Rasmda bosh markaziy o’qlarning holati belgilangan. (3.11) formulaga asosan

= = ni hisoblaymiz.

O’q , rasmda ko’rsatilgan minimumga mos keladi, o’q inersiya momentining maksimal qiymatiga mos keladi.