1. Matritsalar haqida ma’lumotlar

Teskari matritsa
Asosiy ushunchalar Matritsalarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish sonlar ustida bajariladigan mos amallarga monand (hamohang) amallar hisoblanadi. Ushbu bandda matritsalar uchun sonlarni bo‘lish amaliga monand amal bilan tanishamiz. Ma’lumki, agar k soni nolga teng bo‘lmasa, u holda har qanday m soni uchun kx  m tenglamayagona k m k m x 1   yechimga ega bo‘ladi, bu yerda 1 k soni k soniga teskari son deb ataladi.
Sonlar uchun keltirilgan bu tasdiq matritsali tenglamalarni sonli tenglamalarga monand yechishda muhim ro‘l o‘ynaydi. Xususan, sonli tenglamalar uchun 1 1   kk va 1 1   k k shartlarining bajarilishi hal qiluvchi hisoblansa, matritsali tenglamalar uchun AA  I 1 va A A  I 1 shartlarning bajarilishi muhim hisoblanadi, bu yerda A,I  bir xil o‘lchamli kvadrat matritsalar 3 . Agar A va 1 A kvadrat matritsalar uchun AA  A A I 1 1 tenglik bajarilsa, 1 A matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi. Sonlarda, 1 k mavjud bo‘lishi uchun k  0 bo‘lishi talab etilgani kabi, matritsalarda, 1 A mavjud bo‘lishi uchun det A 0 bo‘lishi talab qilinadi. Agar det A 0 bo‘lsa, A matritsaga singular matritsa deyiladi. Bunda singular so‘ziga sinonim sifatida «xos» yoki «maxsus» terminlaridan ham foydalaniladi. Agar det A 0 bo‘lsa, A matritsa nosingular (yoki xosmas yoki maxsusmas) matritsa deb ataladi.
Teskari matritsa haqida teoremalar 1- teorema. Xos matritsa teskari matritsaga ega bo‘lmaydi. Isboti. A matritsa uchun 1 A mavjud bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda AA  I 1 bo‘ladi. Bundan det(AA ) det I 1   yoki det A det A detI 1    kelib chiqadi. Bunda det A  0 va det I 1 ekanini hisobga olsak, 0 1 ziddiyat hosil bo‘ladi. Bu ziddiyat qilingan faraz noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi, ya’ni teoremani isbotlaydi.
2- teorema. Har qanday xosmas A matritsa uchun teskari matritsa mavjud va yagona bo‘ladi. Isboti. A matritsa xosmas, ya’ni det A 0 bo‘lsin. Avval 1 A mavjud bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun A matritsani A A adj det 1 matritsaga ko‘paytiramiz va ko‘paytmaga determinantning 9- va 10- xossalarini qo‘llaymiz:
Ta’rif:  matritsa uchun  tenglikni qanoatlantiruvchi  matritsa mavjud bo’lsa, u holda  ni  ga teskari matritsa deyiladi va u  kabi belgilanadi.
 ekanligi to’g’ri.
Agar  matritsani teskarisi mavjud bo’lsa, u holda Agar  monoidnning berilgan  elementi uchun teskarisi mavjud bo’lsa, u yagonadir.
”monoid“ - agar  yarim guruh elementiga ega bo’lsa, bunday yarim guruhga monoid deyiladi.
teskari matritsani birlik matritsa yordamida yechish .
 tartibli kvadrat matritsaning bosh dioganali birlardan qolgan elementlari hammasi nollardan iborat ushbu

ko’rinishdagi matritsa birlik matritsa deyiladi va  orqali belgilanadi.  tartibli istalgan kvadrat matritsa uchun ishonch hosil qilish oson.
Ta’rif. Birlik matritsadan elementaralmashtirishlar natijasida hosil bo’lgan matritsa elementar matritsa deyiladi .
Quyidagilar ikkinchi tartibli elementar matrisalardir .

Bu yerda
Istalgan tartibli birlik matritsa satrlari (ustunlari) chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki elementar almashtirishlar matritsa rangini o ‘zgartirmaydi.
Teorema: Xosmas kvadrat  matritsani elementar almashtirish yordamida birlik matritsaga keltirish mumkin.
Isbot:  xosmas matritsani hamma satrlari nolmas satrlardan iborat, shu sababli harbir satrda noldan farqli kamida bitta element mavjud.  matritsa quyidagicha ko’rinishda bo’lsin :

Elementar almashtirishlarni faqatgina satrlar ustida bajarib,  ni birlik matritsaga keltirishimizni ko’rsatamiz .
sonlardan qaysi biri noldan farqli bo’lsa, o’sha element joylashgan satrni

 satrni)
Birinchi satr bilan almashtiramiz. Shunday qilib, deya olamiz. Agar birinchi ustunda dan boshqa noldan farqli element bo’lsa,ularni birinchi satr elementlari yordamida nollarga aylantiramiz.
Natijada  matritsa

ko’rinishga keladi. Endi deb faraz qilib,  ning ikkinchi satrini larga ko’paytirib, natijalarni mosravishda satrlarga qo’shsak,  matritsa,

Ko’rinishda bo’ladi bu jarayonni yana  marta takrorlasak, matritsa

ko’rinishni oladi. Endi matritsani birinchi satrini ga ikkinchi satrni ga , …….., satrini ga ko’paytirsak

matritsa hosil bo’ladi. matritsada n- satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda  satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda 1,2,…,n-2 satrlarga va nihoyat 2-satrni ga ko’paytirib natijani 1-satrni birinchi satrga qo’shsak, matritsa ushbu

ko’rinishda bo’ladi.Oxirgi matritsa esa  (birlik) matritsadir .