1-маву. Тўпламлар ва улар устида амаллар (4 соат) Режа: Тўплам тушунчаси

1-теорема. универсал тўпламнинг исталган қисмлари орасидаги муносабатларни ифодаловчи қуйидаги тенгликлар айниятдир:
1. 1^.
2. 2^.
3. 3^.
4. 4^.
5. 5^
Агар ва бўлса, у вақтда . Ана шу хоссадан фойдаланиб юқорида келтирилган айниятлар исбот этилади, яъни тенгликнинг чап томонидаги ҳар бир элемент унинг ўнг томонида ҳам мавжуд ва аксинча эканлигини кўрсатиш керак. Биз юқоридаги айниятларнинг айримларини исбот этган эдик.
1 ва 1^ - айниятларни мос равишда йиғинди ва кўпайтма амаллари учун ассоциативлик қонунлари дейилади. 2 ва 2^ - айниятлари эса - коммутативлик қонуни ва 3, 3^ -айниятлари бўл-са, шу амаллар учун дистрибутивлик қонуни дейилади.
Ассоциативлик қонунига асосан қисм тўпламлардан маълум тартибда йиғинди амали билан ҳосил этилган икки тўплам тенгдир.
Бу тўпламни шаклда белгилаймиз.
Ассоциатив қонунига кўра қавс белгиси қаерда туриши ҳеч қандай роль ўйнамайди. Математик индукция методига асосан

бу ерда , белгилашлар cонларнинг исталган тартибда олинганидан ҳосил этилган сонларни билдиради.
Шу тариқа қуйидаги тенгликларни ҳам келтириб чиқариш мумкин:



Кўрсатилган 1-5 ва 1^-5^ тенгликлардан қуйидаги хулосани ҳосил қиламиз:
1-теоремадаги айниятлар жуфт-жуфт тарзда шундай жойлаштирилганки, бири-иккинчисидан ва ҳамда ва белгиларни бир вақтда ўзаро жойларини алмаштириш натижасида келиб чиқади.
2-теорема. универсал тўпламнинг исталган ва тўпламлари учун қуйидагилар ҳақлидир:
6. Агар ҳамма лар учун 6^. Агар исталган учун
бўлса, у вақтда бўлса, у вақтда .
7.7^. Агар ва бўлса, у вақтда .
8.8^. .
9. 9^.
10. 10^.
11. 11^.
12. 12^.
13. 13^.
2-теореманинг айрим тенгликлари адабиётда махсус номга эгадир. Масалан,10 ва 10^ тенгликлар идемпотентлик қонуни дейилади,12 ва 12^-ютиш қонуни,13 ва 13^-де Морган қонуни деб аталади.
Тўпламлар алгебрасида бирор тенгликдан шу тенгликка кирган ни га, ни га, ни га, ни га бирданига алмаштириш натижасида ҳосил этилган иккинчи тенгликни биринчи тенгликка ва, аксинча, биринчи тенглик иккинчи тенгликка нисбатан иккитарафлама тенглик деб айтилади.