1-mavzu: chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

Qo`yilgan masalani chekli elementlar usuli bilan yechish. Quyida (1.1), (1.2) masalani chekli elementlar usulidan foydalanib yechiladi.
kesmada teng bo`lmagan oraliqli to`r kiritamiz
.
To`r tugunlari chekli elementlar deb nomlanadi. qadamni kiritamiz. (1.1), (1.2) masalalarning taqribiy yechimini bilan belgilanadi va uni [0,1] oralig`ida uzluksiz, da nolga teng hamda har bir tugunda chiziqli funksiya sifatida qaraladi. U holda
,
bunda - har bir tugunda chiziqli, [0,1] oralig`ida uzluksiz va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar (1 -rasmga qarang):


Rasm. 1. Bo`lakli chiziqli funksiya (chapda). Bazis funksiya (o`ngda).

Nuqtalar to`plami sababli, funksiyalari odatda lokal tarqatuvchi (tashuvchi) bazis funksiyalar deb ataladi, bunda kichik kesmada (ya’ni, va elementlarning birlashmasi) ( tashuvchi funksiya). Bu holda (1.6) sistema matritsa elementlari noldan farqli, faqat da , tashuvchi funksiyalari kesishganda. Natijada, tizim matritsasi (1.6) uchburchakli bo'ladi.

Eng oddiy holatni qaraylik. , to`r teng oraliqli, ya’ni bo`lsin. U holda,

Oxirgi integralni taxminan sifatida hisoblanadi. U holda

natijada (1.6) sistema quyidagi shaklga yoziladi

Kesma chegarasida funksiyaning nolga tengligi uchun quyidagi shartlar qo`shiladi:
,
(1.1), (1.2) masala uchun eng oddiy ayirmali sxemaga kelinadi.
Hususiy hosilali differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish.
Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz:
(1.7)
(1.8)
bunda

Ω soha birlik kvadrat bo`lsin:

- soha chegarasi.
Galerkin usuli (1.7), (1.8) masalalarni integral ifoda ko`rinishida ifodalashga asoslangan.
(1.7) tenglamani ixtiyoriy uzluksiz, bo`lakli uzluksiz differensiallanuvchi va chegarada nolga teng bo`lgan funksiyaga ko`paytiramiz va soha bo`yicha integrallaymiz. Bo`laklab integrallash folmulasini qo`llab, quyidagiga ega bo`linadi

Taqribiy yechim quyidagi ko`rinishda izlanadi

,
bunda - (1.8) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan berilgan (bazis) funksiyalar va koeffitsientlar quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish orqali topiladi:

Bazis funksiyalar quyidagicha usullarda tanlanadi:

1. 
   
   

(bu yerdagi birinchi ko`phadlar chegaraviy shartlarning bajarilishini ta’minlaydi),

2. 
   
   

Qulaylik uchun ikkita raqamlash qabul qilindi, .
Chekli elementlar usuli maxsus bazis funksiyalaridan foydalanishga asoslangan. Bunda Galerkin usuli sistemasi matritsasi siyrak bo`lib chiqadi, ya’ni uning elementlarining katta qismi nolga teng. Quyida bunday qurilishlarning eng oddiy misoli keltiriladi.
sohada kvadrat to`r kiritiladi:

bunda h to`r qadami, .
Har bir to`r katakchasini birinchi koordinata burchagi bissektrisasiga parallel tarzda, diagonal bo`yicha ikki uchburchakka ajratiladi.

Rasm. 2. Ω to`rtburchak sohaga uchburchak kiritish.

Ω soha uchburchak elementlariga bo`linadi, ya’ni uchburchakli soha (2-rasm). Masalaning taqribiy yechimini Ω soha uzluksiz, Γ bo`yicha nolga teng va har bir elementida chiziqli bo`lgan funksiya sifatida izlanadi. funksiyani quyidagi shaklda birqiymatli ifodalash mumkin,

bunda funksiya – Ω bo`yicha uzluksiz, bo`yicha nolga teng, har bir element bo`yicha chiziqli va quyidagi shartlarni bajaradi:


Rasm. 2. Kurant bazis funksiyasi (chapda). soha; elementlar raqami (o`ngda).


("Kurant qalpog`i ") funksiyasi, nuqtasidagi birlashgan elementlari bo`lgan, sohasidan tashqarida bir xil, ya’ni nolga teng ekanligini tekshirish qiyin emas (3 -rasm).
qiymatlarni aniqlash uchun tenglama tuziladi. Buning uchun Galerkin usuli sistemasida koeffitsientlar va o`ng tomon hisoblanadi, ya’ni:

Aniqki, agar sohalar kesishmasi bo`sh bo`lmasa, nolga teng bo`lmasligi mumkin. Fiksirlangan k, l uchun oltita sohalar mavjud, ya’ni: . koeffitsientlarini hisoblashda funksiyaning hosilalari qiymatlari kerak.
3-rasmda ko`rsatilganidek, sohaga tegishli elementlar raqamlanadi. 1.1 -jadvalda aniq hisob -kitoblar natijalari umumlashtirilgan (n - uchburchak raqami).

n
1	0	1/h
2	−1/h	1/h
3	−1/h	0
4	0	−1/h
5	1/h	−1/h
6	1/h	0

1.1 jadval. hosilaviy funksiya qiymatlari.

Demak, quyidagi ifodalar o`rinli:

Galerkin usuli sistemasining k, l nomerli tenglamasi quyidagicha ifodalanadi

(1.9)
bunda

Yetarlicha kichik h uchun quyidagi ifoda o`rinli:

Shunday qilib, (1.9) tenglama taqriban quyidagi shaklda ifodalanadi

Xuddi shu tenglama (1.7) tenglamadagi hosilalarni ajratilgan ayirmalar bilan almashtirish orqali olinadi:

(1.9) tenglamani to`rning ichki nuqtalarida yozish, ya’ni , va ularga (1.8) ga mos keladigan chegaraviy shartlarni qo`shish:

orqali to`r tugunlarida taqribiy yechimni topish uchun chiziqli algebraik tenglamalarning to`liq sistemasiga ega bo`linadi.
Ixtiyoriy soha uchun chekli elementlar usuli tizimi xuddi shunday tuzilgan: birinchi navbatda, soha ko`pburchak bilan approksimatsiyalanadi, so`ngra uchburchak kiritiladi, ya’ni ko`pburchakni yetarlicha kichik uchburchaklarga bo`linadi, so`ngra bazis funksiyalar aniqlanadi, shu sababli, albatta, sohalar ancha murakkab bo`lishi mumkin (4 -rasm).

Rasm. 4. Murakkab sohani uchburchaklashtirish.
Taqribiy yechim qurishning ta’riflangan usullari aniq umumlashmalarni qo`llaydi. Masalan, bir o`lchovli holatda, funksiyani har bir elementda m qat’iy darajali polinomlar bo`lgan funksiyalar sinfida izlash mumkin. Taqribiy yechimning silliqligini, uzluksiz deb hisoblab uning hosilalarini ma’lum tartibgacha zichlashtirish orqali oshirish mumkin. Shu kabi umumlashmalarni hususiy hosilali differensial tenglamalarga ham qo`llash mumkin. Bunday holda, sohani nafaqat uchburchak elementlarga, balki murakkab shaklli elementlarga, masalan, to`rtburchaklar va hatto egri chiziqli bo`laklarga ham bo`lish mumkin.
Bunday yechimlarni qurish usullari bir qancha savollarni tug`dirishi aniq. Birinchidan, aniqlangan chekli elementlarning o'lchami va shakliga, taqribiy yechimning silliqlik darajasiga, taqribiy yechimni tuzish uchun ishlatiladigan polinomlarning turiga, shuningdek, qo`yilgan masalaning aniq yechimining differensial xususiyatlariga qarab, hosil bo`lgan taqribiy yechimlarning to`g`riligini baholash qiziq bo`lar edi. Chekli elementlar usuli tizimini shakllantirishda paydo bo`ladigan integrallarni, umuman olganda, faqat ma`lum kvadratur formulalar yordamida hisoblash mumkin. Olingan xatolar ham hisobga olinishi kerak. Bu savollarning barchasi ushbu kursimizning chiziqli elliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalar mavzusiga bag`ishlangan qismida har xil darajada batafsil o`rganiladi.