1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar
Download 1.06 Mb. Pdf ko'rish
|
1-CHiziqli algebra.
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch iboralar. Matritsa
- Maxsus bo‘lmagan matritsa
- Mustaqil ish topshiriqlari 1.
- Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi
|
matritsa deb ataladi. Teskari matritsa 1 A B ko‘rinishda belgilanadi. Endi teskari matritsani bevosita hisoblash usullarini ko‘ramiz.
Faraz qilaylik, j i a A maxsus bo‘lmagan kvadrat matritsa bo‘lsin. Agar j i j i a A elementning det A dagi algebraik to‘ldiruvchisi bo‘lsa, u holda n n n n n n v A A A A A A A A A A ...
... ...
... ...
... 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
A ga biriktirilgan matritsa deb ataladi. Determinantning (3), (4) xossalariga asosan quyidagi kelib chiqadi: E A det A A A A v v , bundan v A A det A 1 1
Teskari matritsani hisoblashning bu usuli biriktirilgan matritsalar usuli deb ataladi.
5 2 4 2 0 3 1 2 1
matritsaga teskari matritsani toping. Yechish.det A = - 4. Demak, A maxsus bo‘lmagan matritsa ekan. Uning barcha algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz: 6 0
2 1 10 2 4 2 1 6 2 4 0 3 5 2 3 1 1 9 5 4 1 1 7 5 4 2 3 4 2 0 1 2 8 5 2 1 2 4 5 2 2 0 3 3 2 3
1 3 3 2
2 2 1 2
3 1 2 1
1 1
, A , A A , A , A A , A , A
Shuning uchun, 6 10 6 5 9 7 4 8 4 v A
va 2 3 2 5 2 3 4 5 4 9 4 7 1 2 1 4 1 1 / / / / / / A A v
Quyida ko‘riladigan usulimiz elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.
Agar A n n o‘lchamli maxsus bo‘lmagan kvadrat matritsa bo‘lsa, uning uchun o‘lchami n n 2 bo‘lgan E | A Г A matritsa tuzib olamiz, ya’ni Amatritsaga birlikE matritsani birlashtirib tuzamiz. Hosil bo‘lgan A Г matritsani satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarib, uni B \ E ko‘rinishga keltiramiz. U holda 1
A B bo‘ladi.
teskari matritsani toping:
4 1 2 2 5 4 1 2 3
qilib yozish natijasida hosil qilingan matritsa; Maxsus matritsa — determinanti nolga teng bo‘lgan matritsa; Maxsus bo‘lmagan matritsa — determinanti nolga teng bo‘lmagan matritsa. Matritsaning rangi — noldan farqli minorlarning eng yuqori tartibi; Matritsaning rangini hisoblash — 1) O‘rab turuvchi minorlar usuli; 2) Elementar almashtirishlar usuli; R n fazoning rangi — fazoning o‘lchamini bildiradi.
1. Matritsa dеb nimaga aytiladi? 2. Matritsaning tartibi qanday aniqlanadi? 3. Matritsaning elementi deb nimaga aytiladi? 4. Matritsalar qanday turlarga ajratiladi? 5. Qachon ikkita matritsa teng deyiladi? 6. Matritsaning qanday elementi diagonal deyiladi? 7. Birlik matritsa qanday ta’riflanadi? 8. Qachon matritsa nol matritsa deyiladi? 9. Matritsani songa ko‘paytirish qanday aniqlanadi? 10. Qaysi shartda matritsalarni qo‘shish yoki ayirish mumkin? 11. Matritsalar yig‘indisi yoki ayirmasi qanday topiladi? 12. Matritsalarni qo‘shish amali qanday qonunlarga bo‘ysunadi? 13. Matritsalarni qo‘shish amali qanday xossalarga ega? 14. Qaysi shartda matritsalarni ko‘paytirish mumkin? 15. Ko‘paytma matritsa tartibi qanday topiladi? 16. Matritsalarning ko‘paytmasi qanday aniqlanadi? 17. Matritsalarni ko‘paytirish amali qanday qonunlarga bo‘ysunadi? 18. Matritsalarni ko‘paytirish amali qanday xossalarga ega? 19. Matritsaning natural darajasi qanday aniqlanadi? 20. Matritsani darajaga ko‘tarish amali qanday xossalarga ega? 21. Matritsalarni transponirlash nima? 22. Matritsalarni transponirlash amali qanday xossalarga ega? 23. Qachon matritsa simmetrik deyiladi? 24. Qanday shartda matritsa kososimmetrik deb ataladi? 25. Matritsaning iqtisodiy tatbig‘iga misol keltiring.
1.
Matritsa mazmuni qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan? A) sonlar yig‘indisi; B) sonlar ko‘paytmasi; C) sonlar to‘plami; D) sonlar jadvali; E) sonlar birlashmasi. 2.
3 7 2 5 0 1 matritsaning tartibini aniqlang. A) 2×2; B) 2×3; C) 3×2; D) 3×3; E) 2×3=6. 3.
Elementlari a ij bo‘lgan matritsa qachon nol matritsa deyiladi? A) Barcha a
elementlarning yig‘indisi nolga teng bo‘lsa; B) Barcha a
elementlari nolga teng bo‘lsa; C) Barcha a
elementlarning ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa; D) Biror satridagi barcha a ij elementlar nolga teng bo‘lsa; E) Biror ustundagi barcha a
elementlar nolga teng bo‘lsa. 4. Quyidagi matritsalarning qaysi biri nol matritsa bo‘lmaydi? ; 0 0 0 0 0 0 ) ; 0 0 ) ; 0 0 0 ) ; 0 0 0 0 ) D C B A
E) Keltirilgan barcha matritsalar nol matritsa bo‘ladi. 5. Elementlari a ij bo‘lgan kvadrat matritsa qachon birlik matritsa deyiladi? A) Barcha a
elementlar birga teng bo‘lsa; B) a
=1 va a ij =0 (i≠j) bo‘lsa; C) Barcha a
diagonalelementlar birga teng bo‘lsa; D) Biror satrdagi barcha a
elementlar birga teng bo‘lsa; E) Biror ustundagi barcha a
elementlar birga teng bo‘lsa. 6. Birlik matritsani ko‘rsating. A) 0 0 0 1 ; C) 1 0 0 1 ; B)
1 1 1 1 ; D)
0 1 1 0 ; E)
1 0 0 0 . 7. Birlik matritsani ko‘rsating. A)
1 1 1 1 1 1 ; B) 0 0 0 1 1 1 ; C)
1 1 1 0 0 0 ; D)
0 1 0 0 0 1 ; E) bu yerda birlik matritsa yo‘q . 8.
Qaysi shartda A mn va B pq matritsalarni ko‘paytirish mumkin? A) m=p; B) m=q; C) n=p; D) n=q; E) mq=np. 9.
Quyidagi A va B matritsalar ustida qanday amallar bajarish mumkin? 23 22 21 13 12 11
a a a a a A 22 21 12 11 b b b b B
A) A –B ; B) A·B ; C) B·A ; D) B–A ; E) A+B. Mustaqil ish topshiriqlari 1. A va B matritsalar bo‘yicha (n+2)A, (1–n)B,A+B, A–B va nA+(n–3)B matritsalarni toping:
n n n n n B n n n n n n A 2 1 4 1 2 3 2 , 1 2 1 2 1 1 . 2. Berilgan A va B matritsalar bo‘yicha A∙B va B∙A matritsalarni toping hamda A∙B=B∙A yoki A∙B≠B∙A ekanligini aniqlang :
1 1 1 2 2 1 2 3 , 5 3 2 2 3 2 1 1 1
n n n n n B n n n n n n A .
jumladan iqtisodiy, masalalar chiziqli tenglamalar sistemasi tushunchasiga olib kеladi.
1-TA’RIF:n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi dеb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi: (1)
Bu yerda а ij vаb i (i=1,2, …, m; j=1,2, …, n) –berilgan va ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar bo‘lib, а
sonlari (1) sistemaning koeffitsiyеntlari, b i esa ozod hadlari deyiladi. Bu sistemada x
( j=1, 2, … , n) noma’lumlar bo‘lib, ularning qiymatlarini topish talab etiladi. Yig‘indi belgisi yordamida (1) sistemani qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
(2) Endi (1) yoki (2) chiziqli tenglamalar sistemasining a
koeffitsiyеntlaridan tuzilgan to‘rtburchakli A matritsani , x
noma’lumlar vа b i ozod hadlardan hosil qilingan X va В ustun matritsalarni kiritamiz: (3)
n mn m m m k n kn k k k n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 . , , 2 , 1 , 1 m i b x a n j i j ij
T n n mn m m n n b b b B x x x x x x X a a а a a а a a а А 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 , , ... ... ...
... ...
... ...
Unda, matritsalarni ko‘paytirish amalidan foydalanib, (1) sistemani ixcham va qulay bo‘lgan quyidagi matritsaviy ko‘rinishda yozish mumkin: АХ=В . (4)
2-TA’RIF: (1) yoki (2) chiziqli tenglamalar sistemaning yechimi dеb shunday x 1 =α 1 , x 2 =α
, …, x n =α n sonlarga aytiladiki, ular tenglamalar sistemasiga qo‘yilganda har bir tenglama qanoatlantiriladi, ya’ni to‘gri tenglikka aylanadi.
Sistemaning yechimlari ustun matritsa ko‘rinishda yozilsa, u (4) matritsaviy tenglamani to‘gri tenglikka aylantiradi. Bunda n-ta sondan tuzilgan X ustun matritsa sistemaning bitta yechimi bo‘lib hisoblanadi. Masalan, (5) n=3 noma’lumli m=2 ta tenglamalar sistemasi uchun x 1 =1, x 2 = –2 vаx 3 =5 yoki
ustun matritsani tashkil etgan sonlar yechim bo‘ladi. Haqiqatan ham bu sonlarni berilgan (5) sistema tenglamalariga qo‘ysak,
to‘gri tengliklarga ega bo‘lamiz. Sistemaning yechimini mavjudligini tekshirish va, yechim mavjud bo‘lgan taqdirda, uni topish sistemani yechish deb ataladi.Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda uch hol bo‘lishi mumkin.
sistema uchun x 1 =2 va x 2 = –5 yagona yechim bo‘ladi. 2-hol. Sistema yechimga ega va bu yechim bittadan ortiq. Masalan, yuqoridagi (5) sistema uchun ko‘rsatilgan yechimdan tashqari x 1 = –5, x 2 =26
vаx 3 =43 ham yechim bo‘lishini bevosita tekshirish mumkin. Download 1.06 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|