1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar

1-mavzu: Chiziqli algеbra 

Reja : 

1.  Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar.  

2.   Matritsa tushunchasi. Matritsaning asosiy  turlari. 

3.  Chiziqli tеnglamalar sistеmasi va uni yеchish uslullari. 

4.  Kronеkkеr-Kapеlli tеorеmasi. 

 

 

1. Quyidagi 

22

21

12

11

a

,

a

,

a

,

a

 haqiqiy sonlardan tuzilgan 















2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

A

 

kvadrat jadval 2-tartibli kvadrat matrisa deyiladi, bu yerda 

j

i

a

- uning elementlari, 

22

21

12

11

a

,

a

va

a

,

a

lar  uning  satr  elementlari, 

22

12

21

11

a

,

a

va

a

,

a

ustun 

elementlari  deb  ataladi. 

j

i

a

ning  birinchi  indeksi  i  satr  raqami,  j  ustun  raqamini 

bildiradi.  Misol  uchun, 

2 1

a

 2-satr  va  1-ustunda  joylashgan.  Bu  matritsaning 

determinanti deb, quyidagi songa aytamiz: 

2 1

1 2

2 2

1 1

2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

A

det







                                              (1) 

Xuddi shunday, 























3 3

3 2

3 1

2 3

2 2

2 1

1 3

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 

kvadrat  jadvalni  3-tartibli  kvadrat  matrisa  deb  atasak,  uning  determinanti  deb 

quyidagi sonni aytamiz: 

32

23

11

33

21

12

31

22

13

31

23

12

13

32

21

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A



































 (2) 

(1) va (2) determinantlar mos ravishda 2-tartibli va 3-tartibli determinantlar deb 

ham ataladi. 

(2) determinantni hisoblash uchun «uchburchaklar usuli» deb ataluvchi quyidagi 

diagrammadan foydalanish 

mumkin:

 

Har bir diagrammada tutashtirilgan elementlar o‘zaro ko‘paytirilib, keyin 

natijalar qo‘shiladi, 

a) diagrammadagi yig‘indi «+» ishorasi bilan, 

b)  diagrammadagi  yig‘indi  esa  «-»  ishora  bolan  olinib,  ikkala  natija  o‘zaro 

qo‘shiladi. 

 

2.  1.  Agar    determinantning  barcha  yo‘l  elementlarini  ustun  elementlariga 

yoki aksincha almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi: 

2 1

1 2

2 2

1 1

2 2

1 2

2 1

1 1

2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a







 

 

2.  Agar  determinantning  ikki  yonma-yon  turgan  satr  (ustun)  elementlarini 

o‘rnini  mos  ravishda  almashtirsak,  determinant  qiymati  qarama-qarshi  ishoraga 

o‘zgaradi: 





2 2

2 1

1 2

1 1

2 1

1 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

1 2

2 1

2 2

1 1

1 2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a















 

 

3.  Agar  determinantning  biror  satr  (ustun)  elementlari  umumiy 

ko‘paytuvchiga  ega  bo‘lsa,  u  holda  bu  ko‘paytuvchini  determinant  tashqarisiga 

chiqarish mumkin: 





2 2

2 1

1 2

1 1

2 1

1 2

2 2

1 1

2 1

1 2

2 2

1 1

2 2

2 1

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a























 

               a) (+)                                                                                      b) (-) 

1-rasm 

 

4. Agar determinantning biror satr (ustun) elementlari mos ravishda boshqa 

satr (ustun) elementlariga proporsional bo‘lsa, u holda determinant qiymati nolga 

teng bo‘ladi: 





0

22

21

11

11

21

11

21

11

21

11

21

11

21

21

11

11













a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a













 

Hususan, agar 

0





bo‘lsa, determinant qiymati nolga tengdir. 

 

5.  Agar  determinantning  satr  (ustun)  elementlari  ikki  ifodaning  yig‘indisi 

ko‘rinishida  bo‘lsa,  u  holda  determinant  ikki  determinant  yig‘indisi  ko‘rinishida 

yozilishi mumkin: 

1 1

2 2

2 1

1 1

1 2

1 1

1

2 2

2 1

1

1 2

1 1

1 1

2 2

1

2 2

2 1

1 1

1 2

1

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a









 

 

6.  Agar  determinantning  biror  satr  (ustun)  elementlarini  biror   

0





 songa 

ko‘paytirib, mos ravishda  boshqa satr (ustun) elementlariga qo‘shsak, determinant 

qiymati o‘zgarmaydi: 

22

21

12

11

21

21

11

11

22

21

12

11

21

22

21

11

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



















 

 

Yuqorida  keltirilgan  xossalar  determinant  uchinchi  va  undan  yuqori  tartibli 

bo‘lganda ham o‘rinlidir. 

 

Keyingi  xossalarni  kiritish  uchun  uchinchi  tartibli 

△  determinantdan 

foydalanamiz, 

3 3

3 2

3 1

2 3

2 2

2 1

1 3

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a





 

 

3.  Berilgan  uchinchi  tartibli  determinantning    i  –  yo‘li  va  j  –  ustunini 

o‘chirishdan  hosil  bo‘lgan  ikkinchi  tartibli  determinant 

j

i

a

elementning  minori 

deyiladi va 

j

i

M

- deb belgilanadi. 

 

Masalan, 

1 1

a

 elementning minori 

3 3

3 2

2 3

2 2

1 1

a

a

a

a

M



 

Xuddi shuningdek, 

1 2

a

-niki 

3 3

3 1

2 3

2 1

1 2

a

a

a

a

M



 

ga teng va hokazo. 

 

Quyidagi 

 

j

i

j

i

j

i

M

A







1

 ifoda 

j

i

a

 elementning  algebraik  to‘ldiruvchisi 

deyiladi.

1 1

a

elementningalgebraik to‘ldiruvchisi 

1 2

2 2

2 1

1 2

2 2

1 1

a

,

a

a

a

a

A



- elementniki esa 

3 3

3 1

2 3

2 1

1 2

a

a

a

a

A





 va hokazo. 

 

7.  Determinantning  biror  satr  (ustun)  elementlarini  mos  ravishda  o‘zining 

algebraik  to‘ldiruvchilariga  ko‘paytirib  qo‘shsak,  u  holda  yig‘indi  determinant 

qiymatiga teng bo‘ladi. Haqiqatdan, 

3 3

3 3

2 3

2 3

3 1

3 1

3 3

3 3

3 2

3 2

3 1

3 1

2 3

2 3

2 2

2 2

2 1

2 1

2 3

2 3

2 2

2 2

2 1

2 1

1 3

1 3

2 2

2 2

1 1

1 1

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1 1

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

















































 

Tengliklarning to‘g‘ri ekanligini isbotlash qiyin emas. 













3 2

2 3

1 1

3 3

2 1

1 2

3 1

2 2

1 3

3 2

2 1

1 3

3 1

2 3

1 2

3 3

2 2

1 1

3 1

2 2

3 2

2 1

1 3

3 1

2 3

3 3

2 1

1 2

3 2

2 3

3 3

2 2

1 1

3 2

3 1

2 2

2 1

1 3

3 3

3 1

2 3

2 1

1 2

3 3

3 2

2 3

2 2

1 1

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a











































 

 

8. Determinantning biror satr (ustun) elementlarini mos ravishda boshqa satr 

(ustun)  elementlarining  algebraik  to‘ldiruvchilariga  ko‘paytirib  qo‘shsak,  u  holda 

yig‘indi nolga teng bo‘ladi. Masalan, 

0

0

0

0

3 3

3 1

2 3

2 1

1 3

1 1

3 3

1 3

3 2

1 2

3 1

1 1

3 2

3 1

2 2

2 1

1 2

1 1

2 3

1 3

2 2

1 2

2 1

1 1

























A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

A

a

 

va hokazo. Haqiqatdan, 

0

2 1

1 3

1 2

2 2

1 3

1 1

2 1

1 3

1 2

2 3

1 2

1 1

2 2

1 3

1 1

2 3

1 2

1 1

2 2

2 1

1 2

1 1

1 3

2 3

2 1

1 3

1 1

1 2

2 3

2 2

1 3

1 2

1 1

3 3

1 3

3 2

1 2

3 1

1 1



























a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a

 

 

Yuqorida keltirilgan xossalar quyida kiritiladigan  n – tartibli determinantlar 

uchun ham o‘rinlidir. 

 

4. Birinchi n ta natural sonlarning {1, 2, …, n} to‘plamiga o‘zini har qanday 



  mos  qo‘yish  n  –  tartibli  o‘rinlashtirish  deyiladi.  Har  qanday  n  –  tartibli 



o‘rinlashtirish quyidagicha  yozilishi mumkin: 



















n

i

i

i

n

...

i

...

i

i









2

1

2

1

 

xususan, 















n

...

n

...









2

1

2

1

 

kanonik o‘rinlashtirish deyiladi. 

 

Agar 

j

i



bo‘lib, 

j

i

a

a



 bo‘lsa, 



o‘rinlashtirishda  (i,  j)  juftlik  inversiyani 

tashkil  etadi  deymiz.  Agar  barcha  invers  juftliklar  soni 

 



S

juft    bo‘lsa, 



o‘rinlashtirish juft, agar 

 



S

 toq  bo‘lsa, 



o‘rinlashtirish toq deyiladi. 

 

Misol. Quyidagi 















1

4

5

3

2

4

2

5

3

1



 

o‘rinlashtirishning juft yoki toq ekanligini aniqlang. 

 

Yechish. Berilgan o‘rinlashtirishni kanonik ko‘rinishda yozib olamiz: 















5

1

3

4

2

5

4

3

2

1



 

va inversiyalar sonini hisoblaymiz. Invers juftliklarni (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) lar 

tashkil etgani uchun, 

 

4





S

, demak, 



- juft o‘rinlashtirish  ekan. 

 

Ta’rif. Quyidagi 































n

n

n

n

n

n

a

...

a

a

...

...

...

a

...

a

a

a

...

a

a

A

2

1

2

2 2

2 1

1

1 2

1 1

 

Kvadrat matritsaning n - tartibli determinanti deb, quyidagi songa aytiladi: 

 

 

 

 

n

,

n

,

S

n

n

n

n

n

n

a

...

a

a

...

a

a

...

...

...

a

...

a

a

a

...

a

a

A

det









1

1

2

1

2

2 2

2 1

1

1 2

1 1

1





































 

bu yerda yig‘indi barcha n – tartibli o‘rinlashtirishlar bo‘yicha bajariladi. 

 

Bu ta’rifni tushunish uchun n = 3 bo‘lgan holini ko‘raylik. Barcha 3-tartibli 

o‘rinlashtirishlar quyidagicha bo‘ladi: 





















































































2

3

1

3

2

1

3

1

2

3

2

1

1

2

3

3

2

1

1

3

2

3

2

1

2

1

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

6

5

4

3

2

1













,

,

,

,

,

 

Har  bir  o‘rinlashtirish  uchun  inversiya  sonini  hisoblasak: 

 

 

,

S

,

S

2

0

2

1









 

,

S

2

3





 

 

 

1

1

3

6

5

4













S

,

S

,

S

 ekanligiga  ishonch  hosil  qilamiz.  U  holda 

ta’rifga ko‘ra: 

3 2

2 3

1 1

3 3

2 1

1 2

3 1

2 2

1 3

3 1

2 3

1 2

1 3

3 2

2 1

3 3

2 2

1 1

3 3

3 2

3 1

2 3

2 2

2 1

1 3

1 2

1 1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a













 

ya’ni 3-tartibli determinant uchun avval keltirilgan formulani hosil qildik. 

 

Yuqoridagiga  o‘xshab,  n  -  tartibli  determinant  uchun  ham  algebraik 

to‘ldiruvchini  kiritish  mumkin.  U  holda  2-tartibli  va  3-tartibli  determinantlarning 

barcha xossalari  n - tartibli determinantlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Xususan, 





n

...,

,

i

A

a

A

det

k

i

n

k

k

i

1

1









                                                  (3) 





n

...,

,

k

A

a

A

det

k

i

n

i

k

i

1

1









                                               (4) 

bu  yerda 

k

i

A

 algebraik  to‘ldiruvchilar  n  –  1  tartibli  determinantlardir,  shu  sababli 

(3),  (4)  formulalarni    n  -  tartibli  determinantni  hisoblashning  tartibini  pasaytirish 

yoki satr va ustun elementlari bo‘yicha yoyish usuli deb ham atashadi.