1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar

 

c).  Gauss  (noma’lumlarni  yo‘qotish)  usuli.    Chiziqli  tenglamalar 

sistemasini  matritsalar  yoki  Kramer  usulida  yechishda  bevosita  berilgan  (1) 

sistemaning o‘zi bilan ish ko‘riladi. Endi qaralayotgan Gauss usulida esa berilgan 

(1)  sistema  boshqa  bir  sistemaga  keltiriladi  shu  sababli  bizga  quyidagi  tushuncha 

kerak bo‘ladi. 

6-TA’RIF:    Agar  ikkita  chiziqli  tenglamalar  sistemalarining  yechimlar  to‘plami 

o‘zaro teng bo‘lsa, ular ekvivalent (teng kuchli) sistemalar deyiladi. 

Masalan, 

 

sistemalar ekvivalent , chunki ular bir xil x

1

= –2, x

2

= 5 yechimga ega. 

 

1-TEOREMA:  Agar  (1)  sistemaning  ikkita  tenglamalari  o‘rni  o‘zaro 

almashtirilsa  yoki  ulardan  biri  ixtiyoriy  λ  songa  ko‘paytirilib  boshqa  bir 

tenglamasiga  qo‘shilsa,  natijada  berilgan  sistemaga  ekvivalent  sistema  hosil 

bo‘ladi.  

 

Masalan,  

 

sistemaning  ikkinchi  va  uchinchi  tenglamalarini  o‘rnini  almashtirish  va  hosil 

bo‘lgan  sistemaning  birinchi  tenglamasini  λ=  –2  songa  ko‘paytirib,  uchinchi 

tenglamasiga qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan quyidagi sistema berilgan sistemaga 

ekvivalent bo‘ladi: 

 

Haqiqatan  ham  bu  sistemalarni  Kramer  yoki  matritsalar  usulida  yechib,  ularning 

ikkalasini ham bir xil 

 

yechimga ega ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin. 

 

Endi  birgalikda  va  aniq  bo‘lgan  quyidagi  n  noma’lumli  n  ta  chiziqli 

tenlamalar sistemasini Gauss usulida yechishga  o‘tamiz: 































3

1

2

,

8

2

23

3

4

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x































0

3

5

3

2

5

4

1

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x































5

4

11

0

3

5

1

3

2

3

2

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

63

10

,

63

25

,

63

11

3

2

1











x

x

x

    (9) 

 

 

1-qadam.  (9)  sistemada  a

11

≠0  deb  olish  mumkin,  chunki  bu  shart 

bajarilmagan bo‘lsa , (9) sistemadagi tenglamalar o‘rnini almashtirish orqali  unga 

erishish  mumkin.    Sistemaning  1-tenglamasini  ikkala  tomonini  –a

k1

/  a

11

  songa 

ko‘paytirib,  uning  k-tenglamasiga  (k=2,  3,  …,  n)  qo‘shamiz.  Natijada  hosil 

bo‘ladigan ekvivalent sistemaning k-tenglamasida  noma’lum x

1

 qatnashmaydi va u 

quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:  

 

(9

(1)

) 

 

 

2-qadam.  Hosil  bo‘lgan  (9

(1)

)  sistemada  yuqoridagi  singari  yana

deb olish mumkin. Bu sistemaning 2-tenglamasini ikkala tomonini

 songa 

ko‘paytirib,  uning  k-tenglamasiga  (k=3,4,  …,  n)  qo‘shamiz.  Natijada  hosil 

bo‘ladigan ekvivalent sistemaning k-tenglamasida  noma’lum x

2

 qatnashmaydi va u 

quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:  

 

(9

(2)

) 

 

n-qadam.   Yuqoridagi jarayonni ketma-ket n–1 marta takrorlab, quyidagi 

ko‘rinishdagi ekvivalent sistemaga kelamiz:  

 



















































n

n

nn

n

n

n

k

n

kn

k

k

k

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

































































3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

2

2

3

23

2

22

1

21

1

1

3

13

2

12

1

11













































)

1

(

)

1

(

3

)

1

(

3

2

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

3

)

1

(

3

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

3

)

1

(

23

2

)

1

(

22

1

1

3

13

2

12

1

11

n

n

nn

n

n

k

n

kn

k

k

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

































































0

)

1

(

22



a

)

1

(

22

)

1

(

2

/a

a

k



















































)

2

(

)

2

(

3

)

2

(

3

)

2

(

4

)

2

(

4

3

)

2

(

43

)

2

(

3

)

2

(

3

3

)

2

(

33

)

1

(

2

)

1

(

2

3

)

1

(

23

2

)

1

(

22

1

1

3

13

2

12

1

11

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a









































    (9

(n–1)

)  

Bu  Gauss  usulining  to‘g‘ri  yo‘li  ,  uning  natijasida  hosil  bo‘lgan    (9

(n–1)

)  sistema 

uchburchaklideyiladi.  

 

Endi  (9

(n–1)

)  sistemaning  oxirgi  tenglamasidan  x

n

  noma’lumning  qiymati 

topamiz.  So‘ngra    x

n

  qiymati  (9

(n–1)

)  yoki  (9

(n–2)

)  sistemaning  oxirgidan  oldingi 

tenglamasiga  qo‘yib,  undan  x

n–1

  noma’lumning  qiymati  aniqlaymiz.  Shunday 

tarzda  davom  etib,  birin-ketin  x

n

,  x

n–1

,  x

n–2

,  …,  x

2

,  x

1

  noma’lumlar  qiymatlarini 

topamiz. Bu jarayon  Gauss usulining teskari yo‘li deyiladi. 

Gauss  usulining  matritsalar  va  Kramer  usullaridan  afzalliklari  quyidagilardan 

iborat: 



  Bu  usul  yuqori  tartibli  determinantlarni  hisoblashni  talab  etmaydi  va 

faqat arifmetik amallar orqali bajariladi; 



 

Bu  usulni  deyarli  yuqorida  ko‘rsatilgan  ko‘rinishda  amalga  oshirib, 

ixtiyoriy  chiziqli  tenglamalar  sistemasini,  jumladan  noaniq  sistemalarni  ham 

yechish mumkin; 



 

Bu  usul  sodda  hisoblash  algoritmiga  ega  bo‘lib,    uni  kompyuterda 

amalga oshirish oson. 

Misol:  Ushbu sistemani Gauss usulida yeching: 

 

 

Yechish: Bu sistemadan noma’lumlarni birin-ketin yo‘qotamiz. 

 

1-qadam. Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalardan х

1 

 noma’lumni 

yo‘qotamiz.  Kasr  sonlarga  kelmaslik  va  bu  orqali  hisoblashlarni  soddalashtirish 

maqsadida  buni  quyidagicha  amalga  oshiramiz.  Dastlab  1-tenglamani  ikkala 

tomonini  –3  soniga,  2-tenglamani  esa  2  soniga  ko‘paytirib,  ularni  o‘zaro 

qo‘shamiz.    So‘ngra  1-tenglamani  ikkala  tomonini  –2  soniga  ko‘paytirib,  hosil 

bo‘lgan  tenglamani  3-tenglamaga  qo‘shamiz.  Natijada  quyidagi  ekvivalent 

sistemaga kelamiz: 

     . 

 

2-qadam.  Oldingi  qadamda  hosil  qilingan    sistemaning  2-tenglamasini  –8 

soniga, 3-tenglamasini 17 soniga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shamiz: 



















































)

1

(

)

1

(

)

3

(

4

)

3

(

4

4

)

3

(

4 4

)

2

(

3

)

2

(

3

3

)

2

(

3 3

)

1

(

2

)

1

(

2

3

)

1

(

2 3

2

)

1

(

2 2

1

1

3

1 3

2

1 2

1

1 1

n

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

b

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

























































9

3

2

4

11

2

4

3

20

4

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























31

5

8

82

16

17

20

4

3

2

3

2

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

 

Dastlab bu uchburchakli sistemaning 3- tenglamasidan х

3

=3 ekanligini topamiz.  

So‘ngra bu natijani sistemaning 2- tenglamasiga qo‘yib, undan  х

2 

=  –2  ekanligini 

aniqlaymiz.  Yakuniy  qadamda  х

2 

=  –2  va  х

3 

=  3  natijalarni  sistemaning  1- 

tenglamasiga qo‘yib, undan х

1 

=1 ekanligini topamiz. Demak berilgan sistemaning 

yagona yechimi х

1 

=1, х

2 

= –2 va х

3 

=3 ekan. 

d).  CHiziqli      tenglamalar  sistemasini  Jordan-Gauss  usuli  bilan 

yechish. 

 

CHiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usulida echishda tekshiruv ustuniga 

ega  bo‘lgan  matritsa  usuli  ko‘rildiki,  natijada  berilgan  tenglamalar  sistemasi 

uchburchak  ko‘rinishiga  keltirildi.    Keyingi  bayon  uchun  Jordan  –Gaussning 

takomillashgan 

usuli 

bilan 

tanishish 

muhim 

ahamiyatga 

ega, 

bunda 

noma’lumlarning qiymatlari to‘g‘ridan–to‘g‘ri topiladi. 

 

Bizga quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: 

               (1) 

 

Bu  sistemaning  A  matritsasidan  0  dan  farqli 

q p

a

 elementini  tanlaymiz.  Bu 

element hal qiluvchi element deb ataladi. A matritsaning n-nchi ustuni hal qiluvchi 

ustun deb, q-nchi qatori hal qiluvchi qator deb ataladi. 

 

Yangi tenglamalar sistemasini qaraymiz: 

                           (2) 

Bu  sistemaning  matritsasi

А



.  Bu  sistemaning  koeffetsientlari  va  ozod  hadlari 

quyidagi formulalardan aniqlanadi: 

 

agari ≠ q. 

























129

43

82

16

17

20

4

3

2

3

3

2

3

2

1

x

x

x

x

x

x



























































m

n

mn

m

m

m

k

n

kn

k

k

k

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

a

































































3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

2

2

3

23

2

22

1

21

1

1

3

13

2

12

1

11

 

Xususan,  agar  i



q  bo‘lsa 

0

a

ip



bo‘ladi.    Agarda  i=q  bo‘lsa  u  holda 

q

q

qj

qj

b

b

,

a

a









 deb qabul qilamiz. SHunday qilib  (1) va (2) sistemalardagi q-nchi 

tenglamalar  bir  hil  bo‘lib,    (2)  sistemaning  q-nchi  tenglamasidan  boshqa  barcha 

tenglamalaridagi 

p

x

 oldidagi  koeffetsientlari  0  ga  teng.  SHuni  ko‘zda  tutish 

lozimki, (1) va (2) sistemalar bir vaqtda yoki birgalikda, yoki birgalikda emas.Ular 

birgalikda  bo‘lgan  holda  teng  kuchli  sistemalardir  (ularning  echimlari  ustma-ust 

tushadi). 

А



matritsaning

ij

a

elementini aniqlashda «to‘rtburchak usuli» ni ko‘zda tutish 

foydalidir. 

A  matritsaning  4  elementini  qaraymiz: 

ij

a

 (almashtirishga  tanlangan 

element), 

q p

a

 (hal qiluvchi element)  va

ip

a

, 

q j

a

elementlar. 

ij

a



elementni topish uchun 

to‘rtburchakning  qarama-qarshi  uchlaridagi 

ip

a

 va 

q j

a

elementlar  ko‘paytmasini 

q p

a

elementga bo‘lib 

ij

a

elementdan ayiramiz: 

q p

q j

ip

ij

a

.........

..........

a

.

.

........

..........

a

.........

..........

a

 

Xuddi  shu  tariqa  (2)  sistemani  ham  almashtirish  mumkin,  bunda 

А



 matritsaning 

hal  qiluvchi  elementi  sifatida 

0

a

sr





elementini  qabul  qilamiz  (s



q,r



p).  Bu 

almashtirishdan so‘ng  

p

x

lar oldidagi barcha koeffitsientlar 0 ga teng bo‘ladi. Hosil 

bo‘lgan  sistema  yana    almashtirilishi  mumkin  va  hakozo.  Agar  r=n  (sistemaning 

rangi noma’lumlar soniga teng) bo‘lsa, u holda bir qator almashtirishlardan so‘ng 

quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: 

 

 

· · · · · · · · 

 

va bu tengliklardan noma’lumlarning qiymatlarini topamiz. Noma’lumlarni ketma-

ket yo‘qotishga asoslangan bu echish usuli Jordan-Gauss usuli deb ataladi.