1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar

1- misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini  Jordan-Gauss usuli bilan 

eching: 

 

 

Yechish.  Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz 

 

 

1-satrnining elementlarini  - 3 ga ko‘paytirib  2- satrning mos elementlariga 

qo‘shamiz: 

 

 

1-satrnining elementlarini  - 2 ga ko‘paytirib  3- satrning mos elementlariga 

qo‘shamiz: 

 

 

3-satrnining elementlarini  - 1 ga ko‘paytirib, 2-satr bilan o‘rnini 

almashtiramiz: 

 

 

elementlarini  8 ga ko‘paytirib  3- satrning mos elementlariga qo‘shamiz: 

Bundan ko‘rinib turibdiki, x

1

,x

2

 va x

3

 lar bazis noma’lumlar, x

4

,x

5 

va x

6

lar esa ozod 

noma’lumlar bo‘ladi. Sistema cheksiz ko‘p echimga ega. 

 

 

 

3- satrning elementlarini -43 ga bo‘lamiz: 

3-satrnining  elementlarini    6  ga  ko‘paytirib    2-  satrning  mos  elementlariga 

qo‘shamiz: 

1

5

3

0

5

0

1

51

37

72

25

0

1

0

43

43

43

43

73

44

98

40

0

0

1

43

43

43

43

am











































 

3-satrnining  elementlarini    3  ga  ko‘paytirib    1-  satrning  mos  elementlariga 

qo‘shamiz: 

219

83

294

163

1

5

0

43

43

43

43

51

37

72

25

0

1

0

43

43

43

43

73

44

98

40

0

0

1

43

43

43

43

am





















 























 

2-satrnining elementlarini  -5 ga ko‘paytirib  1- satrning mos elementlariga 

qo‘shamiz: 

36

102

66

38

1

0

0

43

43

43

43

51

37

72

25

0

1

0

43

43

43

43

73

44

98

40

0

0

1

43

43

43

43

am























 























 

 

 

2.  KRONЕKЕR-KAPЕLLI  TЕORЕMASI:  (1)  chiziqli  tenglamalar 

sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning matritsasi  A va  kengaytirilgan matritsa 

А

b

 ranglari o‘zaro tеng, ya’ni  r(A)=r(A

b

)=r shart bajarilishi zarur va yetarlidir. 

          Bu tеorеmani isbotsiz qabul etamiz. 

Birgalikda  bo‘lgan  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  uchun  quyidagi  tasdiqlar  

o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin: 

1.  Agar birgalikdagi (1) sistema matritsasining rangi r(А) va unga kiruvchi 

noma’lumlar  soni  n  o‘zaro  teng,  ya’ni  r(А)=n  bo‘lsa,  unda  bu  sistema  yagona 

yechimga ega, ya’ni aniq bo‘ladi. 

2.  Agar  birgalikdagi  (1)  sistema  matritsasining  rangi  r(А)<n  bo‘lsa,  bu 

sistema cheksiz ko‘p yechimga ega , ya’ni aniqmas bo‘ladi. 

 

Kroniker-Kapelli  teoremasi  va  yuqorida  keltirilgan  tasdiqlar  (1)  sistema 

yechimini  mavjud  yoki  mavjud  emasligi, ularning  soni haqida xulosa  chiqarishga 

imkon  beradi,  ammo  sistemaning  yechimini  topish  yo‘lini  ko‘rsatmaydi.  Shu 

sababli endi chiziqli tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o‘tamiz.  

         Dastlab  (1)  sistemada  m=n  ,  ya’ni  noma’lumlar  va  tenglamalar  soni  o‘zaro 

teng  hamda  r(А)=n  bo‘lgan  holni  ko‘ramiz.  Bu  shartlarda  ko‘rilayotgan  sistema  

yagona yechimga ega bo‘lib, uni yechishning turli usullari mavjud. 

 

 

Tayanch iboralar. 

Trivial yechim — x = 0 yechim; 

Fundamental  yechimlar  sistemasi  —  kanonik  bazisdagi  unga  mos  keluvchi 

r

n

E

...,

,

E

,

E



2

1

 vektorlar sistemasi; 

Birgalikdagi CHTS — yechimga ega bo‘lgan sistema; 

Birgalikda bo‘lmagan CHTS — yechimga ega bo‘lmagan sistema; 

Ekvivalent  CHTS  —  ikkinchi  sistemaning  yechimlari  to‘plami  bir  xil  bo‘lgan 

sistema; 

Kramer formulalari — CHTS ni determinantlar yordamida yechish; 

Matritsalar usuli — CHTSni matritsalar yordamida yechish. 

Trivial yechim — x = 0 yechim; 

Fundamental  yechimlar  sistemasi  —  kanonik  bazisdagi  unga  mos  keluvchi 

r

n

E

...,

,

E

,

E



2

1

 vektorlar sistemasi. 

 

Takrorlash uchun  savollar 

1.  Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi? 

2.  Sistemaning koeffitsiyеntlari, noma’lumlari va ozod hadlari dеb nimaga 

aytiladi? 

3.  Sistemaning yechimlari qanday ta’riflanadi? 

4.  Qachon sistema birgalikda yoki birgalikda emas deyiladi? 

5.  Qachon sistema aniq va qachon aniqmas deyiladi? 

6.  Kronikеr-Kapеlli tеorеmasi nimani ifodalaydi? 

7.  Qaysi shartda chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega? 

8.  Qaysi shartda chiziqli tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega? 

9.  Chiziqli tenglamalar sistemasi matritsa ko‘rinishda qanday yoziladi? 

10. Sistema matritsa usulida qanday yechiladi? 

11. Matritsalar usulining  qanday qulayliklari va kamchiliklari bor? 

12.  Sistemani Kramer usulida yechishning mohiyati nimadan iborat? 

13. Sistemaning asosiy determinanti dеb nimaga  aytiladi? 

14. Sistemaning yordamchi determinantlari qanday hosil qilinadi? 

15. Sistema yechimi uchun Kramеr formulalari qanday ko‘rinishda bo‘ladi? 

16. Qachon tenglamalar sistemasi ekvivalent deyiladi? 

17.  Gauss usulining mohiyati nimadan iborat? 

18. Gauss usulining to‘g‘ri yolida nimaga erishiladi? 

19. Gauss usulining teskari yolida nimaga erishiladi? 

20. Sistemaning asosiy o‘zgaruvchilari dеb nimaga aytiladi? 

21.  Sistemaning erkli o‘zgaruvchilari dеb nimaga aytiladi? 

22.  Qanday yechim bazis yechim dеb ataladi? 

 

Testlardan  namunalar 

1.  Quyidagi sistemalardan qaysi biri chiziqli tenglamalar sistemasini ifodalaydi? 

A) 

;     B) 

;    C) 

;   

D) 

;           E) 

; 

2.  Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlarining yig‘indisini toping: 

 

         A) 10 ;        B) 0;           C) 5 ;           D) 15;       E) to‘g‘ri javob yo‘q. 

3.  Ta’rifni  to‘ldiring: 



, 



  va 



  sonlarga  uch  noma’lumli  chiziqli  tenglamalar 

sistemasining  yechimi  deyiladi,  agarda  ular  sistemaning  ……  tenglamalarini 

ayniyatga aylantirsa. 

 A) birinchi;        B) ikkinchi;       C) birorta;     D) kamida bitta;      E) uchala. 

4.  Qachon chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deb ataladi? 

A) yechimga ega bo‘lmasa;     B) kamida bitta yechimga ega bo‘lsa; 

C)  yagona yechimga ega bo‘lsa;   D) cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa; 

E) keltirilgan barcha hollarda. 

5.  Tenglamalar sistemasini yeching va 

 ifodaning qiymatini aniqlang:  

 

               A) 5;      B)1;        C)  4;        D)  2;         E) 3.  

 

Mustaqil ish topshiriqlari 















2

2

2

22

2

1

21

1

2

2

12

2

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a





















2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

















2

2

22

1

21

1

2

2

12

2

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a















2

2

2

22

2

1

21

1

2

12

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

















2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a















0

3

2

5

2

3

2

1

2

1

x

x

x

x

2

2

2

1

x

x



















1

2

3

2

2

1

2

1

x

x

x

x

1. 

Ushbu  ikki  noma’lumli  tenglamalar  sistemasini  matritsalar  usulida 

yeching: 

. 

 

2. 

Ushbu  uch  noma’lumli  tenglamalar  sistemasini  Kramer  (determinantlar) 

usulida yeching: 

. 

3. 

Ushbu  to‘rt  noma’lumli  tenglamalar  sistemasini  Gauss  (noma’lumlarni 

yo‘qotish) usulida yeching: 

 

 

 

 

 

 

























2

)

3

(

)

1

(

2

)

1

(

2

1

2

1

n

x

n

x

n

n

x

n

nx





































n

x

x

x

nx

x

n

x

n

x

n

x

n

nx

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

0

)

1

(

)

2

(

1

)

2

(

)

1

(































































1

4

2

1

)

2

1

(

)

2

(

)

3

(

2

5

3

1

)

2

(

)

2

(

)

1

(

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

n

x

x

x

x

x

n

nx

x

n

x

n

n

x

x

x

x

x

n

x

n

x

n

nx