1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar

3-hol. Sistema yechimga ega emas. Masalan, 

 

sistema  yechimga  ega  emas,  chunki  yig‘indisi  bir  paytning  o‘zida  ham  1,  ham  0 

bo‘ladigan sonlar mavjud emas. 

 

3-TA’RIF:  Agar  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  hech  bo‘lmaganda  bitta 

yechimga ega bo‘lsa, u holda bu sistema  birgalikda deyiladi; agar yechimga ega 

bo‘lmasa  sistema  birgalikda  emas  deyiladi.  Birgalikdagi  tenglamalar  sistemasi 

yagona yechimga ega bo‘lsa, u aniq deyiladi; bittadan ortiq yechimga ega bo‘lsa, u 

aniqmas  tenglamalar sistemasi deyiladi. 





T

n

k

X













2

1























32

4

5

2

6

2

3

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x





T

X

5

2

1



















































32

5

4

)

2

(

5

1

2

4

5

2

6

5

)

2

(

2

1

3

2

3

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

















19

3

2

14

4

3

2

1

2

1

x

x

x

x















0

1

2

1

2

1

x

x

x

x

           Berilgan  (1)  tenglamalar  sistemasini  birgalikda  yoki  birgalikda  emasligini  

aniqlash uchun uning koeffitsiyеntlaridan tuzilgan (3)  m×n tartibli A matritsaga B 

ozod hadlar ustunini birlashtirishdan hosil bo‘lgan  m×(n+1) tartibli 

 

                            (6) 

matritsani qaraymiz . 

 

4-TA’RIF:A

b

 matritsa A matritsaning kengaytirilgani deb ataladi. 

 

a).  Matritsalar  usuli.  Bu  usulda  sistemaning  matritsaviy  ko‘rinishda 

yozilgan  (4)  ifodasidan  foydalaniladi.  Bunda  r(А)=n  shartdan  sistemaning  n  – 

tartibli  A  kvadrat  matritsasi  maxsusmas  ekanligi  kelib  chiqadi,  chunki  matritsa 

rangi ta’rifiga asosan ∆=|A|≠0 bo‘ladi. Bu holda  A matritsaga teskari matritsa  A

–1

 

mavjud  va  (4)  matritsaviy  tenglamaning  ikkala  tomonini    unga  chap  tomondan 

ko‘paytirish  mumkin. Natijada, teskari matritsa ta’rifi va birlik matritsa xossasidan 

foydalanib, ushbu formulani hosil etamiz: 

       (7) 

        (4) matritsaviy ko‘rinishdagi n noma’lumli chiziqli n ta tenglamalar sistemasi 

yechimini  ifodalovchi  (7)  formula  bir  noma’lumli  ax=b  (a≠0)  chiziqli 

tenglamaning  yechimini  determinant  x=b/a=a

–1

b  formulaga  o‘xshash  ekanligini 

ta’kidlab o‘tamiz. 

        Misol: Ushbu tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching: 

 

      Yechish:    Dastlab    sistemaning  A  matritsasini  yozib,  uning  determinantini 

hisoblaymiz: 

 

Demak  A  matritsa  maxsusmas,  unga  teskari  matritsa  mavjud  va  uni  §3  dagi  (3) 

formulaga asosan topamiz: 































m

mn

m

m

n

n

b

b

b

b

a

a

а

a

a

а

a

a

а

А



2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

...

...

...

...

...

...

...

.

1

1

1

1

B

A

X

B

A

EX

B

A

AX

A

B

AX





















































9

3

2

4

11

2

4

3

20

4

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

0

43

3

2

4

2

4

3

4

3

2

,

3

2

4

2

4

3

4

3

2









































A

A

 

  Endi  (7)  formula  bo‘yicha  noma’lumlardan  tuzilgan  X    ustun  matritsani 

aniqlaymiz: 

 

 

Demak,  sistemaning yagona yechimi  х

1

 = 1,  х

2

 = –2 , х

3

 =3  bo‘ladi.  

 

Shunday qilib matritsalar usuli har qanday n noma’lumli n ta tenglamali 

aniq  sistema yechimini oddiy va ixcham ko‘rinishdagi (7) formula bilan ifodalash 

imkonini beradi. Bu formula nazariy tadqiqotlar uchun qulaydir, ammo n oshib 

borishi bilan uning amaliy tatbig‘i murakkablashib boradi. Bunga sabab shuki, bu 

holda A

–1

teskari matritsani topish uchun yuqori tartibli determinantlarni 

hisoblashga to‘g‘ri keladi.  

 

b).  Kramer  (determinantlar)  usuli.  Matritsaviy  ko‘rinishda  (7)  formula 

bilan  ifodalanuvchi  (1)  sistema  (m=n)  yechimini  teskari  matritsa  formulasidan 

foydalanib quyidagicha yozamiz: 

 

. 

      Bu yerdan sistemaning x

k

 (k=1, 2, …, n) yechimi uchun ushbu formulalar kelib 

chiqadi:         

 (8) 

    Bunda determinantning 11-xossasidan foydalanib, k=1, 2, …, n,  uchun ushbu 

.

17

16

10

16

10

17

10

17

16

43

1

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

1























































A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

.

3

2

1

129

86

43

43

1

9

11

20

17

16

10

16

10

17

10

17

16

43

1

1

3

2

1































































































































B

A

x

x

x

X

























































































































n

k

nn

in

n

n

nk

ik

k

k

n

i

n

i

n

k

b

b

b

b

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

A

x

x

x

x

X

















































2

1

2

1

2

1

2

2

22

12

1

1

21

11

1

2

1

1

































































nn

n

n

n

nk

n

k

k

n

n

n

n

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

















































2

2

1

1

2

2

1

1

2

22

2

12

1

1

21

2

11

1

1

.

,

,

2

,

1

,

1

)

(

1

2

2

1

1

n

k

A

b

A

b

A

b

x

k

k

nk

n

k

k

k





























 

tengliklar  o‘rinli  bo‘lishidan  foydalandik.  (8)  formulalarda  (1)  sistemaning  a

ij

 

koeffitsiyentlaridan tuzilgan 

 

determinant sistemaning asosiy determinanti,  uning k-ustunini ozod hadlar ustuni 

B  bilan  almashtirishdan  hosil  bo‘lgan  ∆

k

    (  k=1,  2,  …,  n)  determinantlar  esa 

yordamchi determinantlar deyiladi. 

 

5-TA’RIF:    (1)  chiziqli  tenglamalar  sistemasining  yechimini  asosiy  va 

yordamchi determinantlar orqali ifodalovchi (8) tengliklar Kramer formulalari deb 

ataladi. 

Kramer usulining afzalligi shundan iboratki, u orqali sistemaning ma’lum 

bir noma’lumlarini  ham  (masalan,  faqat  x

1

  va  x

2

  noma’lumlarni)  topish  mumkin. 

Ammo bu usul ham  n katta bo‘lganda yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni 

taqozo etadi va shu sababli uni amalda qo‘llash katta qiyinchiliklar bilan bog‘liq.           

 

Kramer  formulalarini  n=2  hol  uchun  yozamiz.  Bunda  (1)  chiziqli 

tenglamalar sistemasi 

, 

 asosiy va yordamchi determinantlar 

 

va Kramer formulalari 

 

ko‘rinishda bo‘ladi.  

    Shunga o‘xshash n=3 bo‘lganda sistema 

  , 

asosiy va yordamchi determinantlar 

k

nn

nk

n

nk

n

in

ik

i

ik

i

n

k

k

n

k

k

nk

n

k

k

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

a

a

b

a

a

A

b

A

b

A

b











































































1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2

21

1

1

1

1

1

1

11

2

2

1

1

mn

m

m

n

n

a

a

а

a

a

а

a

a

а

A

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11





















2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

b

x

a

x

a

b

x

a

x

a

2

21

1

11

2

22

2

12

1

1

22

21

12

11

,

,

b

a

b

a

a

b

a

b

a

a

a

a

























2

2

1

1

,

x

x





























3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

 

va Kramer formulalari 

 

ko‘rinishda bo‘ladi. 

 

Misol:  Ushbu  uch  noma’lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  Kramеr 

usulida yeching: 

 

Yechish:   Asosiy va yordamchi determinantlarni hosil etamiz va hisoblaymiz: 

 

,  

 =–5, 

,                        

  . 

Kramеr formulalariga asosan sistema yechimini topamiz: 

 

Shuni yana bir marta ta’kidlab o‘tamizki, (1) sistema n=m holda yagona yechimga 

ega, ya’ni birgalikda va aniq bo‘lishi uchun uning asosiy determinanti ∆≠0 bo‘lishi 

kerak va bunda yechim  matritsalar usulida (7), Kramer usulida esa (8) formulalar 

bilan topiladi. 

 

Ko‘rsatish mumkinki, agar n=m holda (1) sistemaning asosiy determinanti 

∆=0 bo‘lsa, unda quyidagi ikki hol bo‘ladi: 

   1)    Barcha  yordamchi  determinantlar  ∆

k

=0  (k=1,  2,  …,  n)  bo‘lsa,  unda  (1) 

sistema chеksiz ko‘p yechimga ega, ya'ni birgalikda va aniqmas bo‘ladi.  

   2)  Agar  yordamchi  ∆

k

  (k=1,  2,  …,  n)  determinantlardan  kamida  bittasi  noldan 

farqli  bo‘lsa , unda (1) sistema yechimga ega emas, ya’ni birgalikda bo‘lmaydi. 

 

Masalan, 

 

3

32

31

2

22

21

1

12

11

3

33

3

31

23

2

21

13

1

11

2

33

32

3

23

22

2

13

12

1

1

33

32

31

23

22

21

13

12

11

,

,

,

b

a

a

b

a

a

b

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a



































3

3

2

2

1

1

,

,

x

x

x





























0

2

2

0

3

2

1

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

18

1

1

2

1

3

2

3

2

1









 

   

   

   

   

   

2

1

0

1

3

0

3

2

1

1







 

   

   

   

   

   

1

2

0

2

1

0

2

3

1

1

2











 

   

   

   

   

   

7

0

1

2

0

3

2

1

2

1

3







   

   

   

   

   

   

.

18

7

,

18

1

,

18

5

31

3

2

21

1

1





























x

x

x





























12

10

6

4

5

3

,

8

10

6

4

5

3

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

sistemalarning  birinchisi  uchun  ∆=∆

1

=∆

2

=0  va  u  x

1

=c,  x

2

=(3c−4)/5  ko‘rinishdagi 

cheksiz  ko‘p  yechimga  ega.  Ikkinchi  sistema  uchun  esa  ∆=0,  ammo  ∆

1

=20≠0 

bo‘lgani uchun u yechimga ega emas. Haqiqatan ham sistemaning II tenglamasidan 

3x

1

−5x

2

=6 ekanligi kelib chiqadi va u sistemaning I tenglamasiga ziddir.