1-mavzu: Chiziqli algеbra Reja : Ikkinchi, uchinchi tartibli dеtеrminantlar

3. Teskari matritsa: Quyida 

n

n



 o‘lchamli matritsani ko‘raylik: 



























1

0

0

0

1

0

0

0

1

...

...

...

...

...

...

E

 

Ixtiyoriy 

n

n



 o‘lchamli 

j

i

a

A



 matritsa  uchun

A

A

E

E

A









ekanligiga 

ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni E matritsalar uchun birlik vazifasini bajaradi. 

Shuning uchun E ni birlik matritsa deb aytiladi. 

Determinanti  0  ga  teng  bo‘lgan  quyidagi  har  qanday 

n

n



 o‘lchamli 

j

i

a

A



 matritsa maxsus matritsa deb ataladi: 

0

2

1

2

2 2

2 1

1

1 2

1 1





n

n

n

n

n

n

a

...

a

a

...

...

...

a

...

a

a

a

...

a

a

A

det

 

Aks  holda,  ya’ni 

0



A

det

bo‘lsa,  A  matritsa  maxsus  bo‘lmagan  matritsa 

deyiladi. 

Masalan, avvalgi paragrafda ko‘rilgan misolga ko‘ra 

1

6

1

3

3

2

1

3

1

2

1

0

0

1

1

2









A

 

Matritsa maxsus matritsa, chunki 

0

1

6

1

3

3

2

1

3

1

2

1

0

0

1

1

2











det

 

 

Ta’rif.  Agar 

E

A

B

B

A









 munosabat  o‘rinli  bo‘lsa, 

n

n



 o‘lchamli  kvadrat 

j

i

b

B



matritsani maxsus bo‘lmagan 

n

n



 o‘lchamli 

j

i

a

A



 matritsaga teskari 

matritsa deb ataladi. Teskari matritsa 

1





A

B

ko‘rinishda belgilanadi. 

 

Endi teskari matritsani bevosita hisoblash usullarini ko‘ramiz. 

 

Faraz  qilaylik, 

j

i

a

A



 maxsus  bo‘lmagan  kvadrat  matritsa  bo‘lsin.  Agar 

j

i

j

i

a

A



 elementning det A dagi algebraik to‘ldiruvchisi bo‘lsa, u holda 































n n

n

n

n

n

v

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

...

...

...

...

...

...

2

1

2

2 2

1 2

1

2 1

1 1

 

 

A  ga  biriktirilgan  matritsa  deb  ataladi.  Determinantning  (3),  (4) 

xossalariga asosan quyidagi kelib chiqadi: 

E

A

det

A

A

A

A

v

v







, bundan 

v

A

A

det

A

1

1





 

Teskari  matritsani  hisoblashning  bu  usuli  biriktirilgan  matritsalar  usuli  deb 

ataladi. 

 

Misol 4. Biriktirilgan matritsalar usuli bilan 



























5

2

4

2

0

3

1

2

1

A

 

matritsaga teskari matritsani toping. 

 

Yechish.det  A  =  -  4.  Demak,  A  maxsus  bo‘lmagan  matritsa  ekan.  Uning 

barcha algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz: 

6

0

3

2

1

10

2

4

2

1

6

2

4

0

3

5

2

3

1

1

9

5

4

1

1

7

5

4

2

3

4

2

0

1

2

8

5

2

1

2

4

5

2

2

0

3 3

2 3

1 3

3 2

2 2

1 2

3 1

2 1

1 1































































A

,

A

,

A

A

,

A

,

A

A

,

A

,

A

 

Shuning uchun, 

































6

10

6

5

9

7

4

8

4

v

A

 

va 









































2

3

2

5

2

3

4

5

4

9

4

7

1

2

1

4

1

1

/

/

/

/

/

/

A

A

v

 

 

Quyida ko‘riladigan usulimiz elementar almashtirishlar usuli deb ataladi. 

 

Agar  A

n

n



 o‘lchamli  maxsus  bo‘lmagan  kvadrat  matritsa  bo‘lsa,  uning 

uchun  o‘lchami 

n

n

2



 bo‘lgan 





E

|

A

Г

A



 matritsa  tuzib  olamiz,  ya’ni  Amatritsaga  

birlikE  matritsani  birlashtirib  tuzamiz.  Hosil  bo‘lgan

A

Г

 matritsani  satrlari  ustida 

elementar almashtirishlar bajarib, uni 





B

\

E

 ko‘rinishga keltiramiz. U holda 

1





A

B

bo‘ladi. 

 

Misol  5.  Elementar  almashtirishlar  usuli  yordamida  quyidagi  matritsaga 

teskari matritsani toping: 























4

1

2

2

5

4

1

2

3

A

 

 

 

Yechish.

A

Г

 matritsani tuzib olamiz: 























1

0

0

0

1

0

0

0

1

4

1

2

2

5

4

1

2

3

A

Г

 

A

Г

matritsaning  satrlarini  mos  ravishda 

3

2

1







,

,

 deb  belgilab  olib,  ular  ustida 

quyidagi almashtirishlarni bajaramiz: 

3

3

2

3

1

1

3

3

3

1

1

2

1

1

2

2

3

1

1

2

1

1

1

1

24

7

7

1

3

2

12

1

7

3

3

4

24

1

7

2

3

1





















































































































,

,

,

 

Natijada ketma-ket quyidagini hosil qilamiz: 













































































































































24

7

24

1

4

1

12

1

12

5

2

1

24

1

24

7

4

3

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

3

2

0

1

5

4

0

0

3

1

4

10

3

1

0

3

2

3

7

0

3

1

3

2

1

1

7

1

7

6

0

7

3

7

4

0

7

2

7

5

7

24

0

0

7

2

1

0

7

1

0

1

1

0

3

2

0

1

5

4

0

0

3

1

4

10

3

1

0

3

2

3

7

0

3

1

3

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

4

1

2

2

5

4

1

2

3

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

 

Demak,  



































24

7

24

1

4

1

12

1

12

5

2

1

24

1

24

7

4

3

1

/

/

/

/

/

/

/

/

/

A

 

Teskari matritsa quyidagi xossalarga ega: 

 





 

   

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

3

2

0

1























T

T

A

A

.

A

B

AB

.

/

A

A

.







 

 

1

0

-xossaning isboti. Agar  

0





bo‘lsa, 

 

0





A

det

A

det

n





 bo‘ladi, shuning 

uchun 

j

i

a

A







matritsa  maxsus  emas,  demak, 

 

1



A



 mavjud.  Agar 

j

i

A

 deb 

A



matritsaning 

j

i

a



 elementning  algebraik  to‘ldiruvchisi, 

j

i

A

 deb  esa  A 

matritsaning 

j

i

a

 elementini  algebraik  to‘ldiruvchisini  belgilasak,  u  holda 

j

i

n

j

i

A

A

1







 ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Shu sababli, 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1





















A

A

A

det

A

A

det

A

A

det

A

A

det

A

v

i

j

i

j

n

n

i

j

n















 

2

0

-xossaning isboti.Agar  

1

1





A

B

ni 

B

A



ga o‘ng tomonidan ko‘paytirilsa 





E

A

A

A

E

A

A

BB

A

A

B

B

A























1

1

1

1

1

1

 

Agar chap tomonidan ko‘paytirsak: 





E

B

B

B

E

B

B

A

A

B

B

A

A

B





















1

1

1

1

1

1

 

bo‘ladi. Demak, haqiqatdan 

 

1

1

1









A

B

B

A

 ekan. 

3

0

-xossaning isboti.

T

A

ni

 

T

A

1



ga chap tomonidan ko‘paytiraylik, u holda 2.1 

§dagi transponirlangan matritsalarning 3-xossasiga ko‘ra  

  



E

E

A

A

A

A

T

T

T

T











1

1

 

va

T

A

ni 

 

T

A

1



ga o‘ng tomondan ko‘paytirsak quyidagi hosil bo‘ladi: 

 





E

E

AA

A

A

T

T

T

T











1

1

 

 

4. Matritsaning rangi. Determinanti 0 ga teng bo‘lgan quyidagi har qanday 

n

n



 o‘lchamli 

j

i

a

A



 matritsa maxsus matritsa deb ataladi: 

0

2

1

2

2 2

2 1

1

1 2

1 1





n

n

n

n

n

n

a

...

a

a

...

...

...

a

...

a

a

a

...

a

a

A

det

 

Aks  holda,  ya’ni 

0



A

det

bo‘lsa,  A  matritsa  maxsus  bo‘lmagan  matritsa 

deyiladi. 

Masalan, avvalgi paragrafda ko‘rilgan misolga ko‘ra 

1

6

1

3

3

2

1

3

1

2

1

0

0

1

1

2









A

 

Matritsa maxsus matritsa, chunki 

0

1

6

1

3

3

2

1

3

1

2

1

0

0

1

1

2











det

 

 

Ta’rif.  Agar 

E

A

B

B

A









 munosabat  o‘rinli  bo‘lsa, 

n

n



 o‘lchamli  kvadrat 

j

i

b

B



matritsani maxsus bo‘lmagan 

n

n



 o‘lchamli 

j

i

a

A



 matritsaga teskari