1-мавзу. Differensial tenglama. Asosiy tushuncha va taʼriflar. Differensial tenglama tushunchasiga olib keluvchi ayrim masalalar

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama berilgan boʻlsin. Aytaylik y=y(x) (*) differensial tenglamaning yechimi boʻlsin, unga integral egri chiziq deyiladi.
y=y(x) – integral egri chiziq burchak koeffitsiyentli boʻlgan urinmaga ega boʻladi. Bu degani funksiyaning aniqlanish sohasidagi har bir (x,y) nuqtadan burchak koeffitsiyenti ga teng boʻlgan, katta boʻlmagan urinma chiziqchalar oʻtqaziladi. (*) differensial tenglamaning oʻng tomoni aniqlanish sohasining biror bir toʻgʻri burchakli toʻrdagi tugun nuqtalarida bu urinma chiziqchalarni oʻtqazsak yoʻnalishlar maydoni tasviriga ega boʻlamiz. Boshqacha qilib aytganda - uchlik (x,y) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq yoʻnalishini aniqlaydi, bu toʻgʻri chiziqlar kesmalaridan iborat toʻplam yoʻnalishlar maydonining geometrik tasvirini beradi. Agar toʻrning tugunlari tiqis joylashgan boʻlsa, yoʻnalishlar maydoni integral egri chiziq oʻzini qanday tutishi haqidagi toʻliq tasavvurni beradi.
Taʼrif 12. Izoklin deb, shunday nuqtalarning geometrik oʻrniga aytiladiki, ushbu nuqtalarda qidirilayotgan integral egri chiziqlarga oʻtqazilgan urinmalar bir xil yoʻnalishga ega boʻladi.
Izoklinlar usuli – bu birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni grafik usulda taqribiy yechish usuli hisoblanadi.
Izoklinlar oilasi - tenglama bilan aniqlanadi, k-parametr. k-ga turli xil bir-biriga yaqin qiymatlar berib, izoklinlarning tiqis toʻrini hosil qilamiz.
Eslatma: 0-izoklin integral egri chiziqlarning maksimumi yoki minimumi erishilishi mumkin boʻlgan chiziqlar tenglamasini beradi.
Misol 1. Izoklinlar usulida quyidagicha differensial tenglama yechimining grafigi chizilsin.

Izoklinlar oilasi tenglamasini tuzamiz:

1. 
   
   

ham integral egri chiziq boʻladi, chunki tenglamaga qoʻysak uni qanoatlantirayapti! (boshqa integral egri chiziq uni kesib oʻtmaydi).


, k – qanchalik kattalashsa izoklinlar OY oʻqiga (x=0 toʻgʻri chiziqqa) yaqinlashadi. Integral egri chiziqlarning urinmalari ga qarab intiladi.

koʻrinib turibtiki x=0 ham integral egri chiziq, ham izoklin boʻladi. Izoklin sifatida unga urinmalar OX oʻqiga burchak ostida boʻladi.
Har bir integral egri chiziq (umumiy yechim) izoklinlarga urinma boʻlib oʻtadi!

2. 
   Haqiqatdan ham
   

integral yechim olamiz.

3. 
   Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar boʻyicha funksiyaning oʻsish, kamayish, botiq, qavariqligini aniqlaymiz:
   

boʻladi y>0 boʻlganda va x –ixtiyoriy boʻlganda ( ).
Demak I va II choraklarda y(x) funksiya – botiq.
boʻladi y<0 boʻlganda va x –ixtiyoriy boʻlganda ( ).
Demak III va IV choraklarda y(x) funksiya – qavariq.
Olingan barcha maʼlumotlarga asoslanib, integral egri chiziqlarni yasaymiz.
Misol 2. Izoklinlar usulida quyidagicha differensial tenglama yechimining grafigi chizilsin.

1. 
   Izoklinlar grafiklarini chizamiz:
   

Izoklinlar oʻqi OX oʻqi bilan ustma-ust tushadigan kvadrat parabolalar oilasini tashkil qiladi.

2. 
   k parametrni oʻzgartirib izoklinlar oilasi grafiklarini hosil qilamiz va ularda yoʻnalishlar maydonini quramiz:
   

k=0 boʻlganda
k=1 boʻlganda
k=-1 boʻlganda .
k=0 nolinchi izoklinlarda yechim ekstremumga ega boʻladi, chunki boʻladi, maksimum birinchi chorakda, minimum ikkinchi chorakda erishiladi. Yoʻnalishlar maydoniga urinmalar sifatida integral egri chiziqlarni oʻtqazamiz.