1-Mavzu: Ehtimolliklar fazosi Reja Elementar hodisalar fazosi. Hodisalar va ular ustida amallar

O‘rin almashtirishlar deb, n ta turli elementlarning bir-biridan faqat joylashishi bilan farq qiluvchi kombinatsiyalarga aytiladi. Ularning soni P_n = n!
formula bilan aniqlanadi. Bu yerda n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n, 0!=1.
1-misol. 5, 6, 7 raqamlaridan nechta uch хonali son hosil qilish mumkin?
P₃ = 3!=1⋅2⋅3= 6.
O‘rinlashtirishlar deb, n ta turli elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarda, elementlari yoki ularning tartibi bilan farq qilishiga aytiladi.
^m n!
Ularning soni A_n = formula bilan aniqlanadi. (n − m)!

2-misol. 5,6,7,8 raqamlaridan nechta 2 хonali son hosil qilish mumkin?
A .
Gruppalashlar deb, bir-biridan hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farq qiluvchi n ta elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarga aytiladi.
^m n!
Ularning soni C_n = formula bilan aniqlanadi. m!(n − m)!

m ta elementdan iborat bo‘lgan har bir gruppalash mumkin bo‘lgan hamma o‘rin almashtirishlardan so‘ng P_m = m! ta, n ta elementdan m tadan olib tuzilgan gruppalashlarning hammasi esa C_n^m ta bo‘lgani uchun barcha o‘rinlashtirishlarning umumiy soni A_n^m ,
Anm = Cnm ⋅ Pm
bo‘ladi. Bundan quyidagi formula kelib chiqadi:
^m A^{nm m} n(n −1)(n − 2)...(n − m +1)
C_n = yoki C_n = . (1) P_m 1⋅2⋅3⋅...⋅m


(1) tenglikning o‘ng tomonini (n − m)!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n − m) ga ko‘paytirib va bo‘lib, grupplashlar formulasini boshqacha, chunonchi
^m n!
C_n = (2) m!(n − m)!

ko‘rinishda yozish mumkin.
Bu formulada m sonini n-m bilan almashtirsak, u vaqtda
^n−m n!
C_n = (3)

(n − m)!m!
hosil bo‘ladi.
(1) va (3) formulalarning o‘ng tomonlari o‘zaro bir-biriga teng, demak, ularning chap tomonlari ham teng, ya’ni
C_n^m = C_n ^n−m (4)
m=n bo‘lsin, u vaqtda (2), (3) va (4) formulalardan mos ravishda quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
ⁿ n! ⁰ n! ^{n 0}
C_n = =1, C_n = =1 va C_n = C_n . n!0! 0!n!


3-misol. Yashikdagi 10 ta detalni 2 tadan qilib nechta usulda olish mumkin?
C .
Endi klassik ta’rifga tushadigan bir qancha misollarni ko‘rib o‘tamiz.
4-misol. Yashikda o‘lchamlari va og‘irligi bir хil bo‘lgan uchta ko‘k, sakkizta qizil va to‘qqizta oq shar bo‘lib, sharlar yaхshilab aralashtirilgan. Yashikdan tavakkaliga 1 ta shar tanlab olingan. Тanlangan sharning yoki ko‘k, yoki qizil, yoki oq chiqish ehtimolliklarini toping.
Yechish. Istalgan sharning chiqishini teng imkoniyatli deb hisoblash mumkin bo‘lganligidan, jami n= 3+8 + 9 = 20 ta elementar hodisaga egamiz. A,B,C orqali mos ravishda ko‘k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni belgilaymiz. Ehtimollikning klassik ta’rifga ko‘ra
Р(А) = = 0,15;